(весна 2017 г., 1 курс, ИКНТ)
1. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Примеры.
2. Свойства несобственных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Формула замены переменной. Интегрирование по частям.
3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Лемма о сходимости. Теорема: признак сходимости в допредельной форме. Пример.
4. Теорема: признак сходимости несобственного интеграла в предельной форме. Следствия. Примеры.
5. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Теорема об абсолютной сходимости.
6. Признак Дирихле (без доказательства). Пример. Признак Абеля (без доказательства). Пример.
7. Матрицы. Основные определения. Основные типы матриц.: квадратные, треугольные, диагональные, единичные, трапецевидные, ступенчатые, нулевые, матрица-строка, матрица-столбец.
8. Действия над матрицами: сложение, умножение на число, умножение, транспонирование. Примеры.
9. Определители 2 и 3 порядка. Миноры. Свойства определителей 3 порядка.
10. Бинарные операции. Свойства бинарных операций. Группа. Абелева группа. Примеры. Единственность нейтрального и обратного элементов. Изоморфизм групп. Кольца и поля.
11. Линейные пространства. Свойства. Линейно-зависимая комбинация. Линейно-независимая комбинация. Две теоремы о линейной зависимости и независимости.
12. Понятие базиса. Теорема об инвариантности числа элементов в базисе линейного пространства. Теорема о линейно независимой комбинации с возможностью дополнения до базиса. Теорема о координатах вектора в базисе.
13. Скалярное произведение. Лемма о свойствах длин.
14. Примеры линейных пространств. Множество вещественных многочленов. Множество Rn.
15. Подпространства. Линейная оболочка векторов. Лемма о базисе линейной оболочки.
16. Векторное произведение. Геометрический смысл. Свойства.
17. Смешанное произведение. Геометрический смысл. Свойства. Компланарные векторы.
18. Проекция вектора на ось. Свойства.
19. Кривая на плоскости. Явное, неявное, параметрическое задание. Примеры.
20. Уравнение прямой на плоскости. По направляющему вектору и точке. По вектору нормали и точке. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой в отрезках. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямыми.
21. Расстояние от точки до прямой.
22. Плоскость в пространстве. Обще уравнение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности.
23. Расстояние от точки до плоскости.
24. Прямая в пространстве. Канонические уравнения прямой. Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве.
25. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
26. Кривые второго порядка. Эллипс. Уравнение эллипса. Построение. Основные свойства. Пример.
27. Кривые второго порядка. Гипербола. Уравнение гиперболы. Построение. Основные свойства.
28. Кривые второго порядка. Парабола. Уравнение параболы. Построение. Основные свойства.
29. Преобразования координат на плоскости. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы.
30. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Уравнение. Построение. Свойства. Пример.
31. Поверхности второго порядка. Гиперболоиды (однополостный и двуполостный). Уравнения. Свойства. Примеры.
32. Поверхности второго порядка. Параболоиды. (эллиптический, гиперболический, параболический). Уравнения. Построение. Свойства. Примеры.
33. Коничекие и цилиндрические поверхности. Эллиптический, параболический, гиперболический цилиндр. Конус. Уравнения. Построение. Свойства. Примеры.
34. Действия с матрицами. Сложение (4 свойства), умножение на число (3 свойства), произведение матриц. Размерность и базис.
35. Транспонирование матриц (2 свойства). Обратная матрица (2 свойства). Системы линейных уравнений. Основные обозначения.
36. Блочные матрицы. Лемма о произведении блочных матриц. Лемма о произведении двух верхних треугольных матриц. Симметричная матрица. Лемма.
37. Элементарные преобразования (3 типа). Матрицы элементарных преобразований. Примеры.
38. Ортогональные матрицы. Лемма о строках и столбцах ортогональной матрицы. Следствие. Лемма о произведении ортогональных матриц. Лемма о умножении на ортогональную матрицу (не меняет ни длин, ни скалярного произведения).
39. Определители. Алгебраическое дополнение элемента. Корректность определения для определителей 2 и 3 порядка. Теорема о разложении определителя по первому столбцу. Следствие (об определителе верхней треугольной матрицы). Теорема о равенстве определителей для матрицы и ее транспонированной.
40. Перестановки и инверсии. Транспозиция. Лемма о четности перестановок. Теорема: определитель матрицы. Следствия (матрица с нулевой строкой, матрица с одинаковой парой строк).
41. Теорема о смене строк в определителе. Теорема разложении определителя по любой строке и любому столбцу. Следствие (сумма произведений элементов 1 строки на алгебраические дополнения к элементам другой строки).
42. Теорема о третьем элементарном преобразовании. Теорема об определителе с линейно зависимыми строками. Следствие. Определитель Вандермонда. Доказательство.
43. Теорема: определитель блочной матрицы. Теорема: определитель произведения матриц.
44. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы. Свойство обратной матрицы. Пример.
45. Собственные числа. Собственные векторы. Теорема. Характеристический многочлен. Следствия. Подобные матрицы (3 свойства). Теорема о характеристических многочленах подобных матриц.
46. Теорема о линейной независимости собственных векторов.
47. Теорема: замена базиса в линейном пространстве. LU-разложение матрицы. Теорема (без доказательства).
48. Теорема Крамера. Теорема о взаимосвязи: определитель не равен нулю и строки линейно независимы.
49. Ранг матрицы. Теорема о равенстве горизонтального и вертикального рангов. Теорема об умножении на квадратную невырожденную матрицу.
50. Теорема Кронекера-Капелли.
51. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о прямой сумме. Теорема о размерности прямой суммы. Теорема о размерности суммы подпространств.
52. Линейные отображения. Образ, прообраз, ядро отображения. Свойства. Теоремы.
53. Ранг отображения. Теорема. Теорема об изоморфных линейных пространствах.
54. Собственные числа и собственные векторы операторов. Следствие. Лемма о диагональном виде матрицы оператора. Теорема о собственных векторах линейного оператора. Следствия.
55. Евклидовы пространства. Матрица Грамма. Теорема: процесс ортогонализации Грамма-Шмидта. Пример. Теорема о связи положительного значения Матрицы Грамма и линейной независимости векторов.
56. Ортогональные дополнения. Леммы об ортогональных дополнениях. Теорема о прямой сумме. 4 Следствия.
57. Вещественные симметричные матрицы. Теоремы. 3 Следствия.
58. Билинейные и квадратичные формы. Теорема о структуре билинейной формы в фиксированном базисе. 3 следствия. Теорема о взаимосвязи билинейных форм в разных базисах (без доказательства). Положительно-определенная, отрицательно-определенная, знакопеременная, полуположительно-определенная, полуотрицательно-определенная квадратичные формы. Теорема о существовании ортогональной матрицы. 3 следствия.Закон инерции квадратичной формы.
59. Различные типы множеств и точек. Окрестности. Точка прикосновения. Предельная точка. Изолированная точка. Замкнутое множество, дополнение множества. Компактность. Граница множества. Связное множество. Выпуклое множество. Область. Функции нескольких переменных. Линия уровня.
60. Пределы и непрерывность. Всесторонний предел. Непрерывность в точке. Непрерывность на множестве. Сужение функции. Предел функции вдоль множества, вдоль кривой, по направлению вектора. Примеры. Повторный предел. Свойства пределов. Свойства непрерывных функций. Равномерная непрерывность.
61. Частная производная и дифференцируемость в точке. Необходимое условие дифференцируемости. Достаточное условие дифференцируемости функции.
62. Производная сложной функции. Следствие. Инвариантность формы первого дифференциала.
63. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных второго порядка. Обобщение теоремы.
64. Дифференциалы. Дифференциалы второго и третьего порядка. Формула Тейлора.
65. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость. Нормаль. Пример.
66. Экстремумы. Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума. Критерий знакоопределенности квадратичной формы (без доказательства). Следствие (достаточное условие существования экстремума для функций двух переменных). Примеры.
67. Достаточное условие существования экстремума для функции двух переменных (доказательство без использования квадратичной формы).
68. Условный экстремум. Примеры. Метод множителей Лагранжа.
69. Наибольшее и наименьшее значение функции нескольких переменных в заданной области. Пример.
70. Метод наименьших квадратов. Линия тренда. Пример.