Исследование поведения функции

3.1. Промежутки постоянства и монотонности

Пусть - некоторый промежуток, ограниченный или неограниченный.

Теорема 1. (Критерий постоянства функции на промежутке)

Пусть функция f непрерывна на и дифференцируема на (a,b). Для того, чтобы f(х) тождественно на была равна константе, необходимо и достаточно, чтобы её производная тождественно на (a,b) была равна нулю:

► Необходимость. Пусть f(х) на (a,b), а х₀ – произвольная точка этого интервала. При любом h, удовлетворяющем требованию х₀ + h (a,b) имеем: = = С – С = 0; значит, .

Достаточность. Пусть (х) на (a,b). Выберем некоторую точку х₀ на интервале (a,b) и обозначим: f(х₀) . Пусть х – произвольная точка этого интервала, отличная от х₀ . На сегменте, ограниченном точками х₀ и х функция f удовлетворяет всем требованиям условия теоремы Лагранжа (см. п. 2.2.); поэтому существует точка ξ, ле- жащая между этими точками и такая, что f(х) –f(х₀)= (х – х₀). Ясно,что ξ (a,b), а тогда = 0. Значит, f(х) =f(х₀)=С; отсюда: . ◄

Теорема 2. (Критерий монотонности функции на промежутке)

Пусть функция f непрерывна на и дифференцируема на (a,b). Для того, чтобы онабыла неубывающей (невозрастающей) на промежутке , необходимо и достаточно, чтобы её производная была неотрицательной (неположительной) на интервале (a,b).

► Необходимость. Пусть х₀ – произвольная точка интервала (a,b). По условию теоремы существует производная , значит, существует и односторонная производная справа , причем = .

Рассмотрим случай неубывающей функции. По определению

= . Здесь h > 0; и так как f – неубывающая функция, то f(x₀+h) – f(x₀) ≥ 0; поэтому . Отсюда и из теоремы о предельном переходе в неравенстве (гл. 1, п.4.5) следует: ≥ 0. Но х₀ – произвольная точка интервала (a,b). Следовательно, .

В случае невозрастающей функции аналогично покажем: .

Достаточность. Пусть х₁ и х₂, а≤ х₁ < х₂ ≤ b, - точки, произвольно выбраные на промежутке . На сегменте [ х₁ , х₂ ] функция f удовлетворяет требованиям условия теоремы Лагранжа. Запишем формулу конечных приращений: f(х₂) – f(х₁) = (х₂ - х₁), где х₁ <ξ < х₂.

Пусть неотрицательна на (a,b). Тогда ≥ 0, и, значит, f(х₁) ≤ f(х₂). Таким образом, для любых х₁ и х₂, а≤ х₁ < х₂ ≤ b, справедливо неравенство f(х₁) ≤ f(х₂), т.е. функция f удовлетворяет определению неубывающей на функции.

В случае ≤ 0 на (a,b) из f(х₂) – f(х₁) = (х₂ - х₁) следует: f(х₁) ≥ f(х₂), значит, f удовлетворяет определению невозрастающей на функции. ◄

Теорема 3. (Достаточный признак строгой монотонности) Пусть функция f непрерывна на и дифференцируема на (a,b). Если при всех х (a,b) > 0 ( < 0), то функция f возрастает (убывает) на .

► Пусть х₁ и х₂, а≤ х₁ < х₂ ≤ b, - точки, произвольно выбраные на промежутке . На сегменте [ х₁ , х₂ ] функция f удовлетворяет требованиям условия теоремы Лагранжа. Запишем формулу конечных приращений: f(х₂) – f(х₁) = (х₂ - х₁), где х₁ <ξ < х₂.

Пусть положительна на (a,b). Тогда > 0, и, значит, f(х₁) < < f(х₂). Таким образом, для любых х₁ и х₂, а≤ х₁ < х₂ ≤ b, справедливо неравенство f(х₁) < f(х₂), т.е. функция f удовлетворяет определению возрастающей на функции.

В случае < 0 на (a,b) из f(х₂) – f(х₁) = (х₂ - х₁) следует: f удовлетворяет определению убывающей на функции. ◄

3.2. Точки локального экстремума

Здесь мы рассматриваем следующую задачу: пусть функция f определена на некотором интервале (a,b), ограниченном или неограниченном; требуется найти точки её локальных максимумов и минимумов.

Понятие локального экстремума было введено в п. 2.1. Дополним данные там определения. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х₀, х₀ .

Определение. Точку х₀ назовем точкой строгого локального максимума (строгого локального минимума) функции f, если существует δ > 0 такое, что для всякого х, принадлежащего интервалам (х₉- δ, х₀) и (х₀, х₀ + δ) справедливо строгое неравенство f(х) < f(х₀) (f(х) > f(х₀)).

Согласно следствию теоремы Ферма (см. п.2.1), если функция f дифференцируема в точке х₀ (a,b), а 0, то х₀ заведомо не может быть точкой её локального экстремума. Следовательно, отыскивая точки локальных максимумов и минимумов функции f, достаточно ограничиться рассмотрением тех точекинтервала (a,b), в которых либо производная существует и равна нулю, либо производная не существует. Такие точки в дальнейшем будем называть точками, подозрительными на экстремум. Если функция имеет экстремум, то только в таких точках. Покажем на примере, что подозрительная на экстремум точка не всегда оказывается на деле точкой экстремума.

Пример 1. Пусть f(x) =x . Эта функция дифференцируема на всей числовой оси и имеет единственную подозрительную на экстремум точку: (х)= 0 только при х =0. Однако, f(x) возрастающая функция, и у нее нет точек локального экстремума (см. рис. 7).

Таким образом, чтобы отыскать точки экстремума, следует найти подозрительные на экстремум точки, а затем для каждой из них выяснить, является ли она точкой экстремума на самом деле. Выяснить это можно с помощью достаточных признаков экстремума.

Пусть функция f определена в проколотой окрестности точки х₀ . Будем говорить, что при переходе через х₀ функция меняет знак с + на -, если существует δ > 0 такое, что f(х) > 0 на (х₀ – δ, х₀)и f(х)< 0 на (х₀, х₀ + +δ). Теперь понятен смысл терминов “при переходе через х₀ функция меняет знак с – на + ” и “при переходе через х₀ функция не меняет знак ” Например, при переходе через х₀ = 0функция f(x) =x меняет знак с – на + (см. рис. 7), а функция при переходе через ту же точку знака не меняет.

Теорема 4. (Первый достаточный признак экстремума) Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируема в её проколотой окрестности, и пусть х₀ является для f точкой, подозрительной на экстремум,. Тогда:

1) если при переходе через х₀ производная меняет знак с + на -, то х₀ есть точка строгого локального максимума функции f;

2) если при переходе через х₀ производная меняет знак с – на +, то х₀ есть точка строгого локального минимума функции f;

3) если при переходе через х₀ производная не меняет знак, то х₀ не является точкой локального экстремума функции f.

► 1) Существует δ > 0 такое, что f(х) > 0 на (х₀ – δ, х₀)и f(х)< 0 на (х₀, х₀ + δ). В силу критерия монотонности f не убывает на (х₀ – δ, х₀ ] и не возрастает на [ х₀, х₀ + δ); следовательно, при всяком , т.е. х₀ - точка локального максимума.

2) Доказательство здесь аналогично приведенному выше.

3) Допустим для определенности, что существует δ > 0 такое, что f(х) > 0 и на (х₀ – δ, х₀),и на (х₀, х₀ + δ). Значит, f не убывает и на (х₀ – δ, х₀ ], и на [ х₀, х₀ + δ); т.е. f не убывает на (х₀ – δ, х₀ + δ); поэтому х₀ не может быть точкой экстремума. ◄

Пример 2. Пусть f(x) =x . Эта функция дифференцируема на всей числовой оси, а точка х₉ =0 является подозрительной на экстремум: (0) = 0. При переходе через эту точку производная (х) = 2х меняет знак с – на +; значит, х₉ =0 есть точка локального минимума.

Пример 3. Пусть f(x) = | x |. Эта функция дифференцируема на всей числовой оси, за исключением точки х₉ =0; (х) ≡ -1 на (-∞, 0) и (х) ≡1 на (0,+∞). Таким образом, х₉ =0 является точкой, подозрительной на экст -ремум (в ней не существует), и при переходе через неё меняет знак с – на +; значит, х₉ =0 есть точка локального минимума.

Теорема 5. (Второй достаточный признак экстремума) Пусть функция f n раз, где n> 1, дифференцируема в точке х₉, причем

, а . Тогда:

1) если n – четное, то х₉ является точкой строгого локального экстремума, а именно, точкой строгого максимума в случае и точкой строгого минимума в случае ;

2) если n – нечетное, то х₉ не является точкой локального экстремума.

► По теореме Тейлора-Пеано

Отсюда, так как ,

,

, (13) где 0. Пусть δ > 0 подобрано так, что при всех х, удовлетворяющих неравенствам 0< |x-x ₀| < δ, выполняется | | < . Тогда на интервалах (х₀ - δ, х₀) и (х₀ , х₀ + δ) знак суммы в квадратных скобках (см. (13)) совпадает с знаком числа .

Пусть n - четное. Если < 0, то из (13) следует, что на интервалах (х₀ - - δ, х₀) и (х₀ , х₀ + δ) разность отрицательна, т. е. на этих интервалах . Таким образом, если , то х₀ – точ- ка строгого локального максимума (см. определение). Если же 0,, то на тех же интервалах ; значит, х₀ – точка строгого локального минимума.

Пусть n - нечетное. Тогда множитель перед квадратной скобкой в (13) меняет знак при переходе через х₀ ; поэтому меняет знак и разность f(x) – f(х₀ ). Отсюда следует, что х₀ не может бытьточкой экстремума. ◄

Пример 4. Пусть f(x) =x . При х₀ = 0 имеем: , . Значит, х₀ = 0 – точка строгого локального минимума.

Пример 5. Пусть f(x) =x . При х₀ = 0 имеем: , . Значит, х₀ = 0 не является точкой экстремума.

 

3.3. Промежутки выпуклости

Пустьфункция f определена на сегменте [ x₁,x₂ ], x₁ < x_2, и пусть

= (14) Уравнение есть уравнение прямой, проходящей через лежащие на графике функции точки A(х₁,f(x₁)) и B (х₂,f(x₂)). Если при всех х (x₁,x₂) справедливо неравенство l(x) ≤ f(x) (l(x) ≥ f(x)), то график функции f(x) на интервале (x₁, x₂) проходит “не ниже” (“не выше”) хорды АВ. Если же при всех х (x₁,x₂) l(x) < f(x) (l(x) > f(x)), то график функции f(x) на интервале (x₁, x₂) проходит “строго выше” (“строго ниже”) хорды АВ (см. рис.8).

Пустьфункция f определена на промежутке - ограниченном или неограниченном.

Определение. Будем говорить, что на промежутке функция f выпукла вверх (выпукла вниз), если при любых x₁ и x₂, x₁ < x₂, лежащих на , неравенство l(x) ≤ f(x) (l(x) ≥ f(x)) справедливо для всякого х, принадлежащего интервалу (x₁,x₂). Если же для всякого х, принадлежа- щего интервалу (x₁,x₂). справедливо строгое неравенство, т.е. l(x) < f(x) (l(x) > f(x)), то будем говорить, что функция f строго выпукла вверх (строго выпукла вниз) на .

На рис.9 изображен график функции, которая строго выпукла вниз на промежутке и строго выпукла вверх на промежутке .

Теорема 6. (Критерий строгой выпуклости) Пусть функция f непрерывна на и дифференцируема на (a,b). Для того,чтобы она была строго выпукла вниз (строго выпукла вверх) на , необходимо и достаточно, чтобы её производная f ′ возрастала (убывала) на (a,b).

Докажем критерий строгой вцпуклости вниз:

(f строго выпукла вниз на ) (f ′ возрастает на (a,b))

► Необходимость. Пусть f строго выпукла вниз на , т.е. при любых x₁ и x₂, x₁ < x₂, лежащих на , неравенство l(x) > f(x) выполняется для всякого х, x₁ < <х <x₂ . Воспользовавшись первым выражением для функции l(x) (см. (14)), неравенство l(x) > f(x) можно записать в следующем виде:

(15) Для х (x₁ , положим . В силу неравенства (15) имеем: на интервале (x₁ , g(x) < g(x₂). Заметим, что здесь х и x₂ , х <x₂, можно выбирать любыми на промежутке (x₁ , ; значит, функция g(x) возрастает на (x₁ , . Отсюда, и из теоремы Вейерштрасса об односторонних преде- лах монотонной функции ([1], стр. 67) , т.е.

Так как f дифференцируема в точке х₁, то предел в левой части последнего неравенства равен f ′(х₁), значит. f ′(х₁) Аналогично, воспользовавшись вторым выражением для функции l(x) из (14), можно получить неравенство . Следовательно, при любых x₁ и x₂, x₁ < x₂, лежащих на f ′(х₁) , т.е. производная f ′ возрастает на .

Достаточность. Пусть производная f ′ возрастает на . Пусть x₁ и x₂, x₁ < x₂, - произвольные точки на , а х лежит между ними: x₁ < х <x₂ . На каждом из сегментов [ x₁, х ] и [ х, x₂ ] функция f удовлетворяет всем требованиям условия теоремы Лагранжа, поэтому существуют точки и , такие, что

f(x) - f(x₁) = f ′ (x – x₁) и f(x₂) – f(x) = f ′ (x₂ – x). Отсюда: f ′ = ; f ′ = . Очевидно, , и так как

f ′ возрастает, то f ′ < f ′ ; значит, < Преобразуем это неравенство:

Приведя к общему знаменателю (х – х₁)(х₂ - х) и умножив на него обе части неравенства, получим: Поделим на x₂ – x₁ :

= .

Итак, при любом х, x₁ < х <x₂ , выполняется f(x) < , и так как x₁ и x₂, x₁ < x₂, - произвольные точки на , то f выпукла вниз на .◄

Критерий строгой выпуклости вверх

(f строго выпукла вверх на ) (f ′ убывает на (a,b))

можно доказать аналогично.

Следствие. Пусть функция f непрерывна на и дважды дифференцируема на (a,b). Если при всех х на (a,b) (), то f выпукла вниз (выпукла вверх) на .

► Действительно, есть производная от f ′, и если при всех х на (a,b) (), то в силу достаточного признака строгой монотонности (см. теорему 3) f ′ возрастает (убывает) на (a,b). ◄

Пример 6. Пусть f(x) =x . Имеем: на (- ∞, +∞); значит, эта функция строго выпукла вниз на (- ∞, +∞).

Пример 7. Пусть f(x) =x . Имеем: ; она отрицательна на (- ∞, 0) и положительна на (0, +∞). Следовательно, эта функция строго выпукла вверх на (- ∞, 0) и строго выпукла вниз на (0, +∞), см. рис. 7.

 

3.4. Точки перегиба

Пусть функция f непрерывна в точке х₀ , .

Определение. х₀ назовем точкой перегиба функции f, если существу-ет δ > 0 такое, что на одном из интервалов (х₀ – δ, х₀) и (х₀, х₀ + δ) она строго выпукла вниз, а на другом из них – строго выпукла вверх.

Таким образом, точка перегиба является общей граничной точкой двух интерва- лов, на одном из которых функция строго выпукла вниз, а на другом она строго выпукла вверх. На рис. 10 схематически изображены графики функций в окрестности точки х₀ , которая для каждой из них является точкой перегиба.

 

 

Теорема 7. ( Критерий перегиба ) Пусть функция f непрерывна в некоторой окрестности U точки х₀ , , и дифференцируема в проколотой окрестности . Для того, чтобы х₀ была точкой перегиба, необходимо и достаточно, чтобы существовало δ > 0 такое, что на одном из интервалов (х₀ – δ, х₀) и (х₀, х₀ + δ) производная f ′ возрастает, а на другом – убывает.

Утверждение этой теоремы вытекает непосредственно из критерия выпуклости (теорема 6), так как в силу критерия интервалы строгой выпуклости функции совпадают с интервалами строгой монотонности её производной.

Следствие. Точка перегиба дифференцируемой функции является точкой строгого локального экстремума её производной.

Теорема 8. Пусть х₀ , , является точкой перегиба функции f. Если f дважды дифференцируема в этой точке, то .

► В силу следствия предыдущей теоремы х₀ является точкой строгого локального экстремума производной f ′. Так как f дважды дифференцируема в х₀ , то f ′ дифференцируема в этой точке; значит, по теореме Ферма производная от f ′, т.е. , в точке х₀ обращается в 0. ◄

Следствие. Если f дважды дифференцируема в точке х₀, а , то х₀ заведомо не является точкой перегиба функции f.

Пусть функция f непрерывна в точке х₀ , . Точку х₀ будем называть точкой, подозрительной на перегиб, если либо , либо не существует. Из теоремы 8 и ее следствия вытекает, что только такие точки могут быть точками перегиба. Однако, не всегда точка, подозрительная на перегиб, на деле оказывается точкой перегиба.

Пример 8. Пусть f(x) =x . Имеем: . Так как , то х₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб. Однако, и на (- ∞, 0), и на (0, +∞); так что оба эти интервала являются интервалами выпуклости вниз.

Теорема 9. (Достаточный признак перегиба) Пусть х₀ , . есть точка, подозрительная на перегиб функции f, и пусть f дважды дифференцируема в проколотой окрестности этой точки.. Тогда

1)если меняет знак при переходе через х₀ , то х₀ является точкой перегиба;

2)если не меняет знак при переходе через х₀ , то х₀ не является точкой перегиба;

► 1) Пусть, например, на (х₀ – δ, х₀) и на (х₀, х₀ + δ), где δ – некоторое положительное число. Так как есть производная от , в силу достаточного признака строгой монотонности возрастает на первом интервале и убывает на втором. Значит (см. критерий выпуклости) первый интервал есть интервал строгой выпуклости вниз, а второй – строгой выпуклости вверх; поэтому х₀ - точка перегиба.

Доказательство утверждения 2) аналогично. ◄

Пример 9. Пусть f(x) =x . Имеем: , . Следовательно, х₀ = 0 есть точка, подозрительная на перегиб, и так как при переходе через х₀ меняет знак, то х₀ = 0 – точка перегиба.

Пример 10. Пусть f(x) =x . Имеем: . Так как , то х₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб. Но при переходе через х₀ = 0 знак не меняется; значит, х₀ = 0 точкой перегиба не является.

 

3.5. Асимптоты функции

Пусть , а функция f определена в проколотой окрестности

Определение 1. Если то прямую х = х₀ назовем вертикальной асимптотой функции f при х→х₀.

Пусть функция f определена в односторонней окрестности =(х₀, х₀ + δ) ( = (х₀ – δ, х₀)), где δ – некоторое положительное число.

 

Определение 2. Если (), то прямую х = х₀ назовем вертикальной асимптотой функции f при х→х₀ + 0 (при х→х₀ - 0).

На рис. 11 а) изображен график функции . Так как её предел при х→ 0 равен ∞, то прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной асимптотой этой функции при х→ 0. На рис. 11 б) представлен график функции . Так как , то прямые х =-1 и х = 1 являются вертикальными асимптотами этой функции при х→ -1+0 и при х→ 1=0 соответственно.

Пусть функция f определена на интервале (- ∞, а) или на интерва- ле (а, +∞), где а – некоторое число. Пусть L – прямая, не параллельная оси OY, а y = kx + b – её уравнение.

Определение 3. Если (), то прямую L назовем наклонной асимптотой функции f при х→ - ∞ (при х→ +∞).

Пример 11. Пусть a и b – положительные числа, .Функция f определена этим равенством на интервалах (- ∞, - а) и (а, +∞), её график представлен на рис.11. Пусть L – прямая, уравнение которой . Покажем, что L является наклонной асимптотой функции f при х→ + ∞. Действительно, .

Аналогично можно показать, что пря-мая является наклонной асимптотой функции f при х→ - ∞.

Теорема 10. ( О наклонной асимпто- те ) Пусть функция f определена на интервале (- ∞, а). 1) Для того, чтобы существовала её наклонная асимптота при х→ - ∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

. (16) 2) Если пределы (16) существуют, то прямая, уравнение которой y = kx + +b есть наклонная асимптота функции f при х→ - ∞.

► 1) Необходимость. Пусть наклонная асимптота функции f при х→ - ∞ существует, а y = kx + b – её уравнение: . Обозначим: . Тогда , и так как при х→ - ∞, то , т.е. первый из пределов (16) существует. Из равенства и теоремы о разности между функцией и числом ([1], стр. 50) следует: , т.е. второй из пределов (16) также существует.

Достаточность. Пусть , а L – пря- мая, уравнение которой y = kx + b. Из равенства и теоремы о разности между функцией и числом следует: , а это означает, что L является асимптотой при х→ - ∞.

2) Это утверждение уже доказано, см. 1), Достаточность. ◄

Теорема 11. Пусть функция f определена на интервале (а, + ∞).

1) Для того, чтобы существовала её наклонная асимптота при х→ + ∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

.

2) Если эти пределы существуют, то прямая, уравнение которой y = kx + +b есть наклонная асимптота функции f при х→ + ∞.

Доказательство теоремы аналогично приведенному выше.

3.6. Исследование функции, заданной параметрическим способом

Пусть на некотором промежутке , , определены функции и .

 

Рис. 13

 

Множество значений функции на обозначим через Х Пусть взаимно однозначно отображает на Х (заметим, что это требование будет выполнено, если строго монотонна на ). Значит, существует обратная функция , которая определена на Х и взаимно однозначно отбражает Х на (гл.1, п.5.5). Тогда можно рассматривать функцию у = f(х), заданную на множестве Х равенством f(х) = .

Таким образом, если каждая из двух переменных х и у является функцией некоторой третьей переменной t ( причём строго монотонна), то переменные х и у связаны функциональной зависимостью: у = f(х). Говорят, что указанную зависимость можно задать параметрическим способом посредством системы

. (17)

Саму систему (17) называют параметрическим представлением функции f(х) на множестве Х; переменную t называют при этом параметром. Чтобы получить явное задание у = f(х), следует из первого уравнения системы (17) найти t: t = , а результат подставить во второе уравнение: у = () = f(x).

Пример 12. Рассмотрим систему

[0, π], где a> 0. Функция строго монотонна на [0, π], она взаимно однозначно отображает [0, π] на множество её Х = [- а, а ]; поэтому система является параметрическим представлением некоторой функции y = f(x) на множестве Х = [-