Множественная линейная корреляция и регрессия

Корреляция называется множественной, если на величину результативного признака (урожайность) одновременно влияют несколько факторов. Простой формулой множественной связи является линейная зависимость между тремя и более признаками, когда один из них, например, урожайность, рассматривается как функция (У), а два другие – как аргументы (Х и Z).

Вычисление коэффициентов множественной корреляции и уравнения регрессии более сложно, чем при простой линейной корреляции, требует большого внимания и аккуратности в расчётах. Ход вычислений коэффициентов множественной корреляции рассмотрим на примере с урожайностью яровой пшеницы (У), содержанием нитратного азота в почве перед посевом (Х) и содержанием белка в зерне (Z). Расчёты следует проводить в следующем порядке:

1. Находят отклонения от средних значений, отклонения возводят в квадрат и суммируют: å(У – )² = 212,2; å(Х – )² = 12,4; å(Z – )² = 2,0;

2. Находят произведения отклонений и их суммы: å(У – )(Х – ) = 48,8; å(Х – )(Z – ) = 1,8; å(У – )(Z – ) = 12,6;

3. Как и при вычислении простой линейной корреляции находят коэффициенты корреляции между У и Х, У и Z, Х и Z и их квадраты:

r²_ух = 0,91;

r²_уz = 0,38;

r²_уz = 0,14.

1. В качестве меры тесноты линейной связи трёх признаков используют частные коэффициенты корреляции, обозначаемые r_ху∙z; r_xz∙у; r_уz∙х. Частный коэффициент корреляции – это показатель, измеряющий степень сопряжений двух признаков из множества (в приведённом примере из трёх) и позволяет установить корреляцию между двумя признаками при постоянном значении третьего. Частные коэффициенты корреляции рассчитываются по формулам:

r²_xy∙z = 0,98;

r²_yz∙x = 0,86;

r²_xz∙y = 0,80.

В индексах буквы перед точкой указывают, между какими признаками изучается зависимость, а буква после точки – влияние, какого признака исключается;

2. Частные коэффициенты детерминации находят путём возведения в квадрат частных коэффициентов корреляции: d_ху∙z = 96 %; d_yz∙x = 74 %; d_xz∙y = 64 %;

3. Ошибку и критерии значимости частной корреляции определяют аналогично, что и при парной корреляции:

tфакт. =

Теоретическое значение t берётся из таблицы приложения.

tфакт. =

tфакт. =

9. Вычисляют по формулам множественные коэффициенты корреляции трёх переменных, то есть показатели тесноты линейной связи между одним из признаков (буква индекса перед точкой) и совокупностью двух других (буквы индекса после точки);

;

R²_x∙yz = 0,98; d_x∙yz = 96 %.

;

R²_y∙xz = 0,98; d_y∙xz = 96 %.

;

R²_z·xy = 0,88; d_z·xy = 88 %.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом множественной детерминации. Он показывает долю вариации зависимой переменной под воздействием изучаемых факторов;

;

R²_x∙yz = 0,98; d_x∙yz = 96 %.

;

R²_y∙xz = 0,98; d_y∙xz = 96 %.

;

R²_z·xy = 0,88; d_z·xy = 88 %.

Теоретическое значение F-критерия берут из таблицы 2, 3 приложений (в зависимости от принятого уровня значимости).

Математическое уравнение для прямолинейной зависимости между тремя переменными называется множественным линейным уравнением плоскости регрессии и имеет следующий вид: У = а + b₁Х + b₂Z.

где У (функция) – зависимая переменная;

Х, Z (аргументы) – независимые переменные;

а – общее начало отсчёта;

b₁ и b₂ – коэффициенты частной регрессии.

Коэффициент b₁ показывает, на какую величину увеличивается У при каждом увеличении на одну единицу Х при постоянном значении Z; коэффициент b₂ показывает, на какую величину увеличивается У при увеличении Z на единицу при постоянном значении Х. Коэффициенты b₁ и b₂ вычисляют по следующим формулам:

b₁ =

.

b₂ =

.

Общее начало а = – b₁ – b₂ = 20,9 – 3,5 · 3,24 – 3,2 · 14,2 = – 34,5.

Уравнение регрессии: У = а + b₁X + b₂Z = – 34,5 + 3,5Х + 3,2Z.

Подставляя в уравнение регрессии значение Х и Z, получаем координаты точек (урожайности) для построения линий.

Математические уравнения парной и множественной регрессии, построение графиков возможно тогда, когда корреляционная связь более 0,7, при слабой тесноте связи между функцией и аргументом уравнение регрессии рассчитывать нет смысла.

Урожайность яровой пшеницы (ц/га), рассчитанная по уравнению

У = -34,5 + 3,5Х + 3,2Z