Основы теории конечных полей

Алгебра (конечные поля)-2020

Лекция № 7

 

Литература

1. М.И. Рожков. Алгебра. Основы теории конечных групп, колец, полей. Учебное пособие. М., МГИЭМ, 2009. – 82 с.

2. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. – М.:Гелиос АРВ, 2003. – 336 с.

3. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: в 2-х т. М.: Мир, 1988. – 430 с.

4. Нестеренко А. Ю., Лось А. Б., Рожков М. И. Криптографические методы защиты информации: учебник для академического бакалавриата. – М.: Юрайт. – 2016. – 474 c.

 

Основы теории конечных полей

 

{ Содержание раздела:

Описание конечного поля GF(q) как поля разложения многочлена x^q-x=0.

Описание подполей конечного поля GF(q).

Алгебраические элементы поля над заданным подполем. Минимальный многочлен алгебраического элемента и его свойства.

Поле разложения неприводимого многочлена над конечным полем.

Примитивные элементы конечного поля (теорема существования, число примитивных элементов, описание всех примитивных элементов через степени одного из них, алгоритмы проверки примитивности элементов поля, примеры на основе полей Z_p и F[x]/f(x)).

Период многочлена над конечным полем. Методы нахождения периода многочлена, многочлены максимального периода. Примитивные многочлены.

Функция след и ее свойства.

Квадратичные вычеты и невычеты в поле Z_p (описание через степени примитивного элемента, доказательство равномощности множеств вычетов и невычетов).

Символы Лежандра и Якоби, формула Эйлера (использование для проверки неприводимости квадратного многочлена над полем Z_p).

Методы нахождения корней многочленов над полем Z_p.

}

 

Поле, состоящее из конечного числа q элементов, будем обозначать F_q, либо GF(q) и называть полем Галуа.

 

!!!

Примечание 1.

Напомним, что поле отличается от произвольного кольца тем, что в поле

-имеется единица;

-каждый ненулевой элемент обратим относительно операции умножения;

-операция умножения коммутативна.

!!!

Примечание 2.

Мы знаем примеры полей, а именно:

Z_p – числовое поле вычетов по модулю простого числа p;

F_q[x]/f(x) - поле многочленов над полем F_q с операциями сложения и умножения по модулю заданного неприводимого многочлена.

При этом поле Z_p состоит из p элементов, а поле F_q[x]/f(x) состоит из qⁿ элементов, где n=deg(f) – степень многочлена f(x).

!!!

Подмножество K поля F, которое само является полем относительно операций поля F, называется его подполем. В этом случае поле F называется расширением поля K. Если K¹F, то K называется собственным подполем поля F.

 

3.1. Определение. Поле, не содержащее собственных подполей, называется простым полем.

Пересечение всех подполей поля F является простым полем.

3.2. Теорема (без доказательства). Простое подполе поля F изоморфно либо полю F_p при некотором простом числе p, либо полю Q – рациональных чисел. При этом характеристикой поля F является соответственно либо p, либо 0.

Отметим, что примером простого поля является числовое кольцо вычетов Z_p по простому модулю p.

3.3. Определение. Пусть K – подполе поля F и M – любое подмножество поля F. Тогда через K(M) обозначим поле, являющееся пересечением всех подполей поля F, содержащих одновременно K и M; поле K(M) будем называть расширением поля K, полученным присоединением элементов множества M. В случае, если M состоит из единственного элемента qÎF, поле K(q) называется простым расширением K, а q - порождающим элементом простого расширения поля K.

3.4. Определение. Пусть K – некоторое подполе поля F и qÎF. Элемент q называется алгебраическим над K, если

a_nqⁿ + … + a₁q + a₀ = 0,

где коэффициенты a_i лежат в K и не равны нулю одновременно.

Расширение L поля K называется алгебраическим расширением поля K, если каждый элемент поля L является алгебраическим над K.

3.5. Определение. Пусть q - алгебраический элемент поля F над подполем KÌF. Тогда минимальным многочленом элемента q над полем K называется однозначно определенный нормированный многочлен gÎK[x], порождающий идеал

J = {¦ÎK[x]½¦(q)=0}

кольца K[x]. Под степенью элемента q над полем K понимается степень его минимального многочлена g.

Покажем корректность определения минимального многочлена.

Пусть qÎF является алгебраическим над K. Рассмотрим множество

J = {¦ÎK[x]½¦(q)=0}.

Нетрудно убедиться, что J – идеал кольца K[x], причем J¹(0). Так как в кольце K[x] все идеалы главные, то существует однозначно определенный нормированный многочлен gÎK[x] такой, что J=(g).

 

!!!

3.6. Теорема. Если элемент q поля F является алгебраическим над подполем KÍF, то его минимальный многочлен g обладает следующими свойствами:

(1) Многочлен g неприводим в кольце K[x].

(2) Для многочлена ¦ÎK[x] равенство ¦(q)=0 выполняется в том и только том случае, когда g делит ¦.

(3) Многочлен g является нормированным многочленом наименьшей степени в кольце K[x], для которого q является корнем.

!!!

 

Если L – расширение поля K, то L можно рассматривать как векторное (или линейное) пространство над полем K. Элементы поля L (“векторы”) образуют по сложению абелеву группу. Кроме того, каждый “вектор” aÎL можно умножать на “скаляр” rÎK, и при этом произведение ra снова принадлежит L (здесь ra - просто произведение в поле L). При этом будут выполняться все необходимые соотношения:

r(a+b) = ra+rb,

(r+s)a = ra+sa,

(rs)a = r(sa),

1a = a,

где r,sÎK, a,bÎL.

3.7. Определение. Пусть L – некоторое расширение поля K. Если L, рассматриваемое как векторное пространство над K, имеет конечную размерность, то L называется конечным расширением поля K.

Размерность векторного пространства L над K называется степенью поля L над K и обозначается [L:K].

3.8. Теорема (без доказательства). Если L – конечное расширение поля K и M – конечное расширение поля L, то M – конечное расширение поля K, причем

[M:K] = [M:L]×[L:K].

3.9. Теорема. Каждое конечное расширение поля K является алгебраическим над K.

!!!

3.10. Теорема. Пусть q - элемент поля F, являющийся алгебраическим степени n над подполем KÌF, и пусть g – минимальный многочлен элемента q над K. Тогда справедливы утверждения:

(1) Расширение K(q) изоморфно факторкольцу K[x]/(g). При этом изоморфизм j задается соответствием: j(q)=x, j(k)=k, kÎK.

(2) [K(q):K] = n и {1,q,…,q^n-1}- базис векторного пространства K(q) над полем K.

(3) Каждый элемент aÎK(q) является алгебраическим над полем K, и его степень является делителем числа n.

!!!

Конец лекции № 7