Геометрия комплексных чисел.

2.1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Пусть a = a + bi ¾ произвольное комплексное число. Тогда в декартовой системе координат существует единственная точка с координатами (a; b) и, обратно, произвольной точке (a; b) в декартовой системе координат соответствует единственное комплексное число a такое, что Re a = a и Im a = b. Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел C существует взаимно однозначное соответствие y такое, что y (a + bi)=(a; b). Поэтому комплексные числа можно изображать точками плоскости. Эту плоскость называют комплексной.

Пусть M (a; b) ¾ точка комплексной плоскости, соответствующая комплексному числу a + bi. Тогда можно рассматривать вектор с координатами (a; b) (рис. 1) Вектор называется векторным представлением числаa + bi. Длина | | вектора называется модулем комплексного числа a = a + bi, а угол j между вектором и положительным направлением оси Ox называется аргументом комплексного числа a ¹0. Для нуля модуль не определён. Модуль числа a обозначается через | a |, а его аргумент ¾ через Аrg a. Очевидно, Аrg a определён с точностью до кратных угла 2 p, то есть, если j ¾ угол наклона к оси Ox, то Аrg a = j +2 p k, k Î Z. Если j =Аrg a Î(p, p ], то j называется главным значением аргумента и обозначается через arg a. Таким образом, Аrg a =arg a +2 p k, k Î Z, arg a Î(- p, p ].

2.1.1. Упражнение. Построить точки, изображающие комплексные числа 1, -1, i, - i, 1+ i, 1- i, 2+3 i, 2-3 i.

2.1.2. Упражнение. Изобразить на плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам z, удовлетворяющим условиям:

а) | z |=2; б) | z -(2+3 i)|=1; в) | z +1+ i |=2; г) | z - i |£2;

д) | z +(2-3 i)|³2; е) | z -1- i |<3; ж) 2<| z |<4; з) 1£| z +2 i |<3;

и) | z -2|+| z +2|=5; к) | z +1|+| z -1|=4; л) | z +2|-| z -2|=3; м) | z +1|-| z -1|=4;

н) arg z = ; о) arg z = ; п) |Re z |³1; р) |Im z |=2;

с) |Re z |<2; т) |Im z |£3.

Решение. б) Пусть z = x + yi, где x =Re z и y =Im z. Тогда z -(2+3 i)=(x -2)+(y -3) i и | z -(2+3 i)|= . Поэтому | z -(2+3 i)|=1 Û =1 Û =1. Получили уравнение окружности с центром (2; 3) и радиусом R =1. Следовательно, множество точек, соответствующее комплексным числам z, удовлетворяющим заданному условию ¾ окружность с центром (2; 3) радиуса R =1 (рис. 2).

в) Аналогично предыдущему, если z = x + yi, то | z - i |= и | z - i |£2 Û £2 Û £4 ¾ круг с центром (0; 1) радиуса 2 (рис. 3).

2.2. Геометрический смысл сложения и вычитания комплексных чисел. Пусть a = a + bi и b = c + di ¾ произвольные комплексные числа. Тогда их сумма a + b =(a + c)+(b + d) i изображается вектором с координатами (a + c, b + d), то есть при сложении комплексных чисел они складываются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел (рис. 4).

Аналогично, a - b =(a - c)+(b - d) i изображается вектором с координатами (a - c, b - d), и при вычитании комплексных чисел они вычитаются как вектора. В этом заключается геометрический смысл сложения комплексных чисел.

Отсюда вытекают следующие свойства модулей комплексных чисел:

| a |-| b |£| a + b |£| a |+| b |, (2.2.1)

| a |-| b |£| a - b |£| a |+| b |, (2.2.2)

|- a |=| a |.

2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Пусть a = a + bi ¾ комплексное число с модулем r =| a | и аргументом Arg a. Тогда из геометрических соображений имеем a = r cos j и b = r sin j, откуда

a + bi = r (cos j + i sin j). (2.3.1)

Правая часть полученного равенства (2.3.1) называется тригонометрической формой комплексного числаa + bi.

Таким образом, для нахождения тригонометрической формы комплексного числа a + bi достаточно найти модуль r по формуле

r = (2.3.2)

и аргумент Arg a = j из системы уравнений

(2.3.3)

При этом в качестве аргумента Arg a берётся, как правило, главное значение arg a Î(- p, p ].

2.3.1. Упражнение. Представить в тригонометрической форме комплексное число:

а) 1; б) -4; в) i; г) -2 i; д) 1+ i; е) 1- i;

ж) 3+3 i; з) 1+ i; и) - i; к) -1- i.

Решение. б) Комплексное число -4 представляется вектором с координатами (-4; 0). Поэтому |-4|=4 и arg(-4)= p. Следовательно, -4=4(cos p + i sin p) ¾ тригонометрическая форма числа -4.

з) Имеем a =1 и b = . Поэтому |1+ i |= =2. Далее, cos j = и sin j = , откуда j =arg(1+ i)= и 1+ i =2(cos + i sin ).

Ответ: б) -4=4(cos p + i sin p);

з) 1+ i =2(cos + i sin ).

2.3.2. Теорема. Пусть комплексные числа a и b = a + bi записаны в тригонометрической форме: a = r ₁(cos j ₁+ i sin j ₁), b = r ₂(cos j ₂+ i sin j ₂). Тогда

ab = r ₁ r ₂[cos(j ₁+ j ₂)+ i sin(j ₁+ j ₂)], (2.3.4)

= [cos(j ₁- j ₂)+ i sin(j ₁- j ₂)]. (2.3.5)

Допуская вольность речи, эту теорему формулируют следующим образом: при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются; при делении ¾ модули делятся, аргументы вычитаются.

2.3.4. Следствие. Если a = r (cos j + i sin j), то для любого целого числа n имеет место равенство