Правила дифференцирования.

Лекция

Тема: Производная функции

План лекции:

1. Определение производной функции

2. Правила и формулы дифференцирования

3. Производные основных элементарных функций

4. Производная сложной функции

Понятие производной.

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом .

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов:

1) даем аргументу x приращение x D и определяем соответствующее приращение функции x) -f(x) Dy = f(x+ D;

2) составляем отношение: ;

3) считая x постоянным, а x D ¦0, находим ,который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Таким образом, , или .

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение при x D¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Таблица производных.

(C)’= 0 С=const

(cos x)'=-sin x
(sin x)'=cos x
(tg x)'=	(а^х)'=а^xln a
(ctg x)'=-	(е^х)'=e^x

Правила дифференцирования.

Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

1. d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

2. d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

3. d(Cu) = Cdu

Пример 1

Найти производную функции y = x ² − 5 x.

Решение.

Применяя линейные правила дифференцирования, получаем:

Пример 2

Найти производную функции , где a и b - константы.

Решение.

Пример 3

Найти производную функции 2√ x − 3sin x.

Решение.

Используя простейшие правила дифференцирования, получаем:

Пример 4

Найти производную функции y = 3sin x + 2cos x.

Решение.

Данное выражение представляет собой линейную комбинацию двух тригонометрических функций. Производная имеет следующий вид:

Пример 5

Найти производную функции

Решение

Применяя линейные свойства производной, получаем следующий ответ:

Пример 6 Найти производную функции

Решение

Используя приведенные выше формулы дифференцирования, имеем:

Пример 7

Вычислить производную следующей функции

Решение

Чтобы решить данный пример с помощью рассмотренных выше правил дифференцирования, перемножим обе скобки и запишем функцию в таком виде:

Теперь легко найти производную:

Пример 8Найти производную функции , не используя формулу производной частного.

Решение

Разделив числитель на знаменатель почленно, запишем функцию в виде

Далее, применяя линейные свойства производной, находим:

Производная сложной функции.

Инвариантная форма записи дифференциала.

Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Пример 9. Найти производную функции .