Требования к оформлению контрольной работы

Работа может быть оформлена в тетради или на стандартных листах формата А4. Работа должна иметь титульный лист, на котором указываются: название дисциплины, фамилия, имя и отчество студента, шифр, специальность и курс. На каждой странице необходимо оставлять поля для замечаний рецензента.

Теоретические вопросы должны быть изложены в объеме, достаточном для отражения сути поставленного вопроса и содержать ссылки на используемую литературу.

Все расчеты, выполненные студентом в практической части контрольной работы должны содержать комментарии и выводы по полученным результатам.

В конце работы должен быть помещен список используемой литературы.

 

 

 

Вопросы к теоретической части контрольной работы

 

Теоретические вопросы по каждой теме выбираются из списка вопросов для самоконтроля. В таблице 1 указаны номера вопросов, соответствующих каждому варианту.

 

Таблица 1. Варианты вопросов к теоретической части

 

Вариант
Тема 1. Вопрос
Тема 2. Вопрос
Тема 3. Вопрос
Тема 3. Вопрос
Тема 4. Вопрос						-	-	-	-	-
Тема 5. Вопрос						-	-	-	-	-
Тема 6. Вопрос	-	-	-	-	-
Тема 7. Вопрос	-	-	-	-	-

Задание 1. Используя интерполяционный полином Ньютона вычислить значение функции при указанном значении аргумента х. Используя интерполяционный полином Лагранжа четвёртого порядка вычислить значение функции при указанном значении аргумента х. Подобрать методом наименьших квадратов многочлен наименьшей степени, наилучшим образом, описывающий функцию, заданную таблично и вычислить её значение при заданном значении аргумента.

 

X	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5
0,1	0,83550	1,46355	1,56320	1,48342	0,73420
0,3	-0,35750	0,23275	1,10440	0,88222	-0,49260
0,5	-0,96250	-1,98125	0,30000	0,03750	-1,22500
0,7	-0,81150	-4,70805	-0,64840	-0,68018	-1,35740
0,9	0,26350	-7,34285	-1,53920	-0,81578	-0,78420
1,1	2,43050	-9,14645	-2,17080	0,17022	0,60020
1,3	5,85750	-9,24525	-2,34160	2,90182	2,90140
1,5	10,71250	-6,63125	-1,85000	8,08750	6,22500
1,7	17,16350	-0,16205	-0,49440	16,52022	10,67660
1,9	25,37850	11,43915	1,92680	29,07742	16,36180
	x=0,4	x=1,8	x=0,6	x=1,4	x=0,2
	Y6	Y7	Y8	Y9	Y0
0,2	0,17600	0,99520	1,38960	1,23312	0,06560
0,4	-0,74400	-0,77760	0,73280	0,46912	-0,92720
0,6	-0,99200	-3,31520	-0,16880	-0,36368	-1,37280
0,8	-0,40000	-6,08000	-1,11360	-0,85248	-1,16560
1,0	1,20000	-8,40000	-1,90000	-0,50000	-0,20000
1,2	3,97600	-9,46880	-2,32640	1,27552	1,62960
1,4	8,09600	-8,34560	-2,19120	5,14032	4,42880
1,6	13,72800	-3,95520	-1,29280	11,84512	8,30320
1,8	21,04000	4,91200	0,57040	22,22512	13,35840
2,0	30,20000	19,60000	3,60000	37,20000	19,70000
	x=1,7	x=0,5	x=1,5	x=0,3	x=1,1

 

Пример 1. Дана функция y=f(x)

 

х	0,1	0,5	0,9	1,3	1,7
у	-0,6575	-0,0875	1,4905	5,4205	13,0465
х	2,1	2,5	2,9	3,3	3,7
у	25,7125	44,7625	71,5405	107,3905	153,6565

Используя интерполяционный полином Ньютона вычислить f(0,8) и f(3,5).

 

Составим таблицу конечных разностей

 

х	у	Δ1у	Δ2у	Δ3у
0,1	-0,6575
0,5	-0,0875
0,9	1,4905
1,3	5,4205
1,7	13,0465
2,1	25,7125
2,5	44,7625
2,9	71,5405
3,3	107,3905
3,7	153,6565

 

Третьи конечные разности постоянны, поэтому при вычислении будем использовать полином Ньютона третьей степени, при этом при вычислении функции при х=0,8 воспользуемся первым полиномом Ньютона

(),

а при х=3,5 – вторым

; , h=0,4.

Вычислим f(0,8). Воспользуемся полиномом

.

Пусть х₀=0,5, тогда .

Имеем .

Вычислим f(3,5). Воспользуемся полиномом

.

x_n=3,7, .

Имеем

Пример 2. Дана функция y=f(x)

х	0,25	0,30	0,65	0,70	0,85
у	-0,4766	-0,4145	0,3139	0,4915	1,1922
х	1,10	1,50	1,55	1,60	1,75
у	3,0775	8,6875	9,6683	10,7200	14,3266

Используя интерполяционный полином Лагранжа третьего порядка вычислить f(1,3).

Интерполяционный полином Лагранжа третьего порядка имеет вид:

 

х	0,85	1,10	1,50	1,55
у	1,1922	3,0775	8,6875	9,6683

Поэтому выберем четыре точки, например,

 

 

 

Пример 3. Дана функция y=f(x)

х	0,10	0,35	0,70	0,80	0,95
у	-0,6575	-0,3472	0,4915	0,9280	1,8256
х	1,20	1,40	1,90	2,00	2,30
у	4,1440	6,9280	18,6655	22,0000	34,3555

 

Методом наименьших квадратов подобрать многочлен наилучшим образом описывающий данную функцию (имеющий наименьшую сумму квадратов отклонений).

Пусть искомая функция имеет вид Р(х)=а₀+а₁х+а₂х²+…+a_mx^m. Требуется подобрать многочлен Р(х) так, чтобы S= эта сумма была минимальна.

Для определения коэффициентов а_i решаем систему

Из вида графика начальную степень многочлена возьмем равную трем (m=3). Вычисляем значения коэффициентов системы и свободных членов.

Σх_i=11,7, Σх_i²=18,465, Σх_i³=33,25425, Σх_i⁴=64,4107125, х_i⁵=130,2657731, Σх_i⁶=270,7140142; Σy_i=88,3334, Σy_i x_i=175,7876, Σy_i x_i²=359,102542,

Σy_i x_i³=750,3946976.

Получаем систему:

Решаем эту систему и находим, что а₀=-0,8000; а₁=1,6000; а₂=-2,1000; а₃=3,5000.

Получаем Р₃(х)=3,5х³ – 2,1х² +1,6х – 0,8. При этом S=1,5625Е-9.

Для сравнения возьмем многочлен четвёртой степени. Вычислим дополнительно

, , .

Система для определения коэффициентов:

Её решение а₀=-0,8007; а₁=1,6049; а₂=-2,1082; а₃=3,5048; а₄=-0,0009.

Получаем многочлен

Р₄(х)=-0,0009х⁴+3,5048х³ – 2,1082х² +1,6049х – 0,8007.

Вычислим сумму квадратов отклонений

xi	0,10	0,35	0,70	0,80	0,95
yi	-0,6575	-0,3472	0,4915	0,9280	1,8256
P4(xi)	-0,65776	-0,34696	0,491682	0,928104	1,825546
(уi -P(xi))2	7,074E-8	5,864E-8	3,299E-8	1,076E-8	2,955E-9
xi	1,20	1,40	1,90	2,00	2,30
yi	4,1440	6,9280	18,6655	22,0000	34,3555
P4(xi)	4,143843	6,927827	18,66557	22,00011	34,35545
(уi -P(xi))2	2,462E-8	2,995E-8	4,840E-9	1,132E-8	2,828E-9

 

S=2,496E-7.

Сравнивая отклонения, замечаем, что отклонение для многочлена третьей степени меньше, чем для четвёртой.

Замечание. Сравнивая коэффициенты этих многочленов, видим, что старший коэффициент многочлена четвертой степени практически равен нулю.

Итак, многочленом наилучшим образом описывающий данную функцию, является многочлен третьей степени Р₃(х)=3,5х³ – 2,1х² +1,6х – 0,8.

 

Задание 2. Определить начальные значения корней уравнения (в том числе и начальные значения близких корней) и уточнить один из них с точностью e=0,0001 методом Бриге-Виетта, усовершенственным методом последовательных приближений и комбинированным методом.

 

Bариант	уравнение	Bариант	уравнение
	2х3-5х2+4х-1,005=0;		3х3-4х2-х+1,96=0;
	3х3-7х2+5х-1,006=0;		4х3-5х2-2х+2,98=0;
	3х3-8х2+7х-2,005=0;		2х3+7х2+8х+2,99=0;
	4х3-9х2+6х-1,007=0;		2х3-х2-4х+2,98=0;
	4х3-11х2+10х-3,008=0;		2х3+х2-4х-2,98=0.

 

 

Пример. Выполним данное задание для уравнения

3х³ – 5,6х² +1,43х +1,207.

Схематично график функции у= 3х³ – 5,6х² +1,43х +1,207 представлен на рисунке. На этом рисунке видим, что данное уравнение имеет один отрицательный корень и два положительных близких. За начальное значение отрицательного корня можно взять х₁= - 0,5. Для нахождения начальных значений близких корней предварительно решим уравнение

(3х³ – 5,6х² +1,43х +1,207)’=0. Продифференцируем левую часть равенств, получим 9х²–11,2х+1,43=0. Решением этого квадратного уравнения будут значения 0,14444 и 1,1. Из графика видно, что близкие корни лежат в окрестности х=1,1. Вычислим d, которое определяет отклонение начальных значений от 1,1. .

В нашем примере F(x)= 3х³ – 5,6х² +1,43х +1,207 и его значение F(1,1)=-0,003. F″(x)=18x – 11,2 и F″(1,1)=8,6. Тогда . Начальное значение х₂ возьмём равным 1,0735, а х₃ = 1,1265.

 

Уточним корень х₁= – 0,5 методом Бриге-Виетта.

Рекуррентная формула метода . b и c определяются соотношениями:

 

b₃=a₃, c₃=b₃;

b₂=a₂ + x_n*b₃, c₂=b₂ + x_n*c₃;

b₁=a₁ + x_n*b₂, c₁=b₁ + x_n*c_2;

b₀=a₁ + x₀*b₁.

 

x0=-0,5
i	a	b	c
	-5,6	-7,1	-8,6
	1,43	4,98	9,28
	1,207	-1,283
x1=-0,36175
i	a	b	c
	-5,6	-6,685237069	-7,770474138
	1,43	3,848355694	6,65929122
	1,207	-0,185126085
x2=-0,33395
i	a	b	c
	-5,6	-6,601838065	-7,60367613
	1,43	3,634657558	6,173874952
	1,207	-0,006779432
x3=-0,33285
i	a	b	c
	-5,6	-6,598543814	-7,597087628
	1,43	3,626311702	6,154986654
	1,207	-1,03725E-05
x4=-0,33285

 

Уточним этот же корень комбинированным методом. При уточнении корня на отрезке [a, b] касательная проводится из точки, в которой знак функции совпадает со знаком второй производной. В нашем примере это условие выполняется при х=а, поэтому новое значение , . Применительно к данному примеру а=–0,5, b=0,

F(x)= 3х³ – 5,6х² +1,43х +1,207, F¢(x)= 9х²–11,2х+1,43.

Результаты расчётов сведём в таблицу

 

i	ai	bi
	-0,5
	-0,36175	-0,24237
	-0,33395	-0,32895
	-0,33285	-0,33284
	-0,33285	-0,33285

 

Уточним первый корень х₁= – 0,5 усовершенственным методом последовательных приближений. Рекуррентная формула имеет вид для уравнения x=f(x): . Преобразуем исходное уравнение к виду x=f(x), например, х=х – 0,2(3х³ – 5,6х² +1,43х +1,207) или х= – 0,6х³+1,12х²+0,714х – 0,2414. х₀=–0,5 определим значение х₁ используя формулу последовательных приближений

х₁ = – 0,6х₀³+1,12 х₀²+0,714 х₀ – 0,2414, вычисляя, получаем х₁=–0,2434.

Результаты вычисления по усовершенственному методу последовательных приближений занесём в таблицу

 

i	xi	x i+1
	–0,5	–0,2434
	–0,2434	–0,31368
	–0,31368	–0,34780
	–0,34780	–0,33568
	–0,33568	–0,33075
	–0,33075	–0,33244
	–0,33244	–0,33315
	–0,33315	–0,33290
	–0,33290	–0,33280
	–0,33280	–0,33284
	–0,33284	–0,33285
	–0,33285	–0,33285

 

Итак, в качестве приближенного значения первого корня с точностью 0,0001 возьмём –0,3328.

Методы Бриге-Виетта и комбинированный методы достигли точности за четыре итерации.

Уточняя второй корень методом Бриге-Виетта, находим х₂=1,0733 и х₃=1,1262.

 

Задание 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса и методом Гаусса -Зейделя.

a₁x+b₁y+c₁z=d₁,

a₂x+b₂y+c₂z=d₂,

a₃x+b₃y+c₃z=d₃.

 

вариант		ak	bk	ck	dk
		2.8500	-1.1200	4.3700	15.1720
	13.1000	4.0800	15.2400	54.4380
	5.2200	2.1400	-3.0600	0.4554
		13.1000	4.0800	15.2400	54.4380
	5.2200	2.1400	-3.0600	0.4554
	4,5500	7,4400	2,1300	8,9220
		14,9900	11,7200	-3,9900	9,8328
	2.8500	-1.1200	4.3700	15.1720
	5.2200	2.1400	-3.0600	0.4554

 

 

вариант		ak	bk	ck	dk
		4,5500	7,4400	2,1300	8,9220
	14,9900	11,7200	-3,9900	9,8328
	2.8500	-1.1200	4.3700	15.1720
		2.8500	-1.1200	4.3700	15.1720
	5.2200	2.1400	-3.0600	0.4554
	20,0200	14,7800	9,9400	48,6434
		2.8500	-1.1200	4.3700	15.1720
	4,5500	7,4400	2,1300	8,9220
	20,0200	14,7800	9,9400	48,6434
		4,5500	7,4400	2,1300	8,9220
	20,0200	14,7800	9,9400	48,6434
	5.2200	2.1400	-3.0600	0.4554
		9,2200	-8,6600	7,9200	37,0494
	2.8500	-1.1200	4.3700	15.1720
	5.2200	2.1400	-3.0600	0.4554
		2.8500	-1.1200	4.3700	15.1720
	4,5500	7,4400	2,1300	8,9220
	9,2200	-8,6600	7,9200	37,0494
		9,2200	-8,6600	7,9200	37,0494
	5.2200	2.1400	-3.0600	0.4554
	4,5500	7,4400	2,1300	8,9220

 

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 

 

Выпишем матрицу коэффициентов системы.

10,000000 11,700000 18,465000 33,254250 88,333400

11,700000 18,465000 33,254250 64,410710 175,787600

18,465000 33,254250 64,410710 130,265770 359,102500

33,254250 64,410710 130,265770 270,714010 750,394700

Вычислим m₁= 1,17; m₂= 1,8465; m₂= 3,325425.

Исключаем а₀ из второго, третьего и четвёртого уравнений для чего последовательно умножаем коэффициенты первого уравнения на (-m₁) и складываем с коэффициентами второго, затем умножаем коэффициенты первого уравнения на (-m₂) и складываем с коэффициентами третьего и т.д. и получаем:

10,0000 11,700000 18,465000 33,254250 88,333400

0,0000 4,776000 11,650200 25,503238 72,437522

0,0000 11,650200 30,315088 68,861797 195,994877

0,0000 25,503238 68,861797 160,129496 456,648603

m₁= 2,439322 m₂= 5,339874.

Исключаем а₁ из третьего и четвёртого уравнений и получаем

 

10,0000 11,700 18,465000 33,254250 88,333400

0,0000 4,7760 11,650200 25,503238 72,437522

0,0000 0,0000 1,8965029 26,651199 19,29646425

0,0000 0,0000 6,651199066 23,945425 69,84137393

m₁= 3,507086

Исключаем а₂ из четвёртого уравнения и получаем

10,0000 11,70000 18,465000 33,254250 88,333400

0,0000 4,776000 11,650200 25,503238 72,437522

0,0000 0,00000 1,8965029 26,651199 19,296464

0,0000 0,00000 0,0000 0,6190966 2,1670114

Из последнего уравнения вычисляем а₃= =3,500 подставляем это значение в третье уравнение, из которого определяем а₂= -2,1, далее определяем а₁=1,6 и а₀=-0,8.

 

Решим эту систему методом Гаусса –Зейделя.

 

Матрица коэффициентов системы симметрична и положительно определенная, поэтому попытаемся решить её методом Гаусса –Зейделя, выразив а_i из соответствующих уравнений.

 

 

а₀=(88,333400 – (11,7а₁+18,465а₂+33,25425а₃))/10,

а₁=(175,7876 – (11,7а₀+33,25425а₂+64,41071а₃))/18,465,

а₂=(359,1025 – (18,465а₀+33,25425а₁+130,26577а₃))/64,41071,

а₃=(750,3947 – (33,25425а₀+64,41071а₁+130,26577а₂))/270,71401.

 

Количество итераций, которое потребовалось для достижения результата составило более 9100. Таблица начальных значений и последних значений итераций представлена ниже.

 

i	a0	a1	a2	a3
	0,00000000	0,00000000	0,000000000	0,00000000
	8,83334000	3,92296355	1,017527461	0,26381619
	1,48730725	5,82487976	1,607980183	0,42955293
	-2,37935077	6,63341565	1,963833449	0,54092116
	-4,35276753	6,85448446	2,190196335	0,62181081
	-5,29838955	6,76383134	2,344493037	0,68529257
	-5,68833813	6,51159584	2,458120126	0,73853103
	-5,78007549	6,17937905	2,548266665	0,78546605
	-5,71391632	5,81138903	2,624365447	0,82827639
	-5,56624697	5,43143864	2,691614020	0,86817847
	-0,79999990	1,60001628	-2,100016596	3,50000427
	-0,80000010	1,60001722	-2,100017561	3,50000453

 

Задание 4. Решить систему нелинейных уравнений:

0. 1.

2. 3.

4. 5. 6. 7.

8. 9.

 

Пример. Решить систему нелинейных уравнений

 

Решение. Будем решать систему методом Ньютона.

Пусть F(x,y)= x²–4x+2,5xy+3y³+1,9860, G(x,y)=x⁴+1,1xy–2y+4,5y²–,3481.

Частные производные этих функций: F_x=2x – 4+2,5y, F_y=2,5x+9y², G_x=4x³+1,1y, G_y=1,1x – 2+9y, J(x,y)=F_xGy – F_yG_x,

x_n+1=x_n – (F(x_n,y_n)*G_y – F_y*G)/J(x_n,y_n), y_n+1=y_n+(F*G_x – F_x*G)/ J(x_n,y_n). При начальных значениях (1; 2) производим расчёт, результаты которого сводим в таблицу.

 

n	x	y	F	Fx	Fy
	1,35	-0,68	0,000796	-3	7,5366
	1,348589	-0,11953	0,956478	-1,60164	3,500052
	1,558106	0,493453	2,686939	0,349845	6,086729
	1,605405	0,439199	2,594277	0,308807	5,749573
	1,606248	0,39016	2,4736	0,187898	5,385647
	1,6062	0,358147	2,3854	0,107768	5,169925
	...	...	...	...	...
	1,601372	0,318902	2,268311	2,78E-08	4,918718
	1,601372	0,318902	2,268311	1,22E-08	4,918718

 

n	G	Gx	Gy	J	FGy-GFy	FGx-GFx
	0,008406	9,0935	-6,635	-48,6291	-0,06864	-27,2553
	-2,31043	9,679185	-1,5923	-31,3274	6,56363	-19,2031
	1,104164	15,67322	4,154995	-93,945	4,443474	5,096911
	1,663735	17,03371	3,718736	-96,7882	0,081666	4,746354
	1,506533	17,00588	3,278317	-90,9717	-0,00441	2,912295
	1,405373	16,96917	2,990145	-87,4071	-0,13298	1,677279
	...	...	...	...	...	...
	1,2136	16,77698	2,63163	-82,5213	-1E-07	4,32E-07
	1,2136	16,77698	2,63163	-82,5213	-4,5E-08	1,9E-07

 

Задание 5. Построить решение дифференциального уравнения на заданном промежутке методами Эйлера второго порядка (исправленным – И, модифицированным – М):

0. М

1. y’cosx- ysinx =sin2x, y(0)=2 [0;1] И

2. М

3. И

4. М

5. И

6. М

7. И

8. М

9. И

Задание на курсовую работу

 

На промежутке [0; 2] решить дифференциальное уравнение у(0)=у₀ (обосновав выбор шага интегрирования). Подобрать многочлен Р_n(х) наилучшим способом, описывающий полученное решение. Определить корни уравнения Р_n(х)=f(x) с точностью 0,0001.

 

вариант	F(x)	y(0)	f(x)
			x+11.75
			1.5x+13.2
			0.6x+15.2
			20-1.2x
			17-1.5x
			14.5
			30-1.2x
			1.5x+13
			4.6x+19.7

 

Указание к выполнению.

1. Решить дифференциальное уравнение, обосновав выбор шага интегрирования.

2. Выбрать узлы интерполяции и подобрать многочлен.

3. Определить значения корней многочлена на заданном интервале.