Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.

Основные определения.

Пару действительных чисел а и b называют упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, какое – вторым.

Определение 1. Комплексным числом называется любая упорядоченная пара

действительных чисел R.

Множество всех комплексных чисел обозначается С.

Определение 2. Два комплексных числа и считают равными и

пишут = , если .

Условимся в дальнейшем комплексные числа обозначать строчными буквами греческого алфавита.

Определение 3. Пусть и - два комплексных числа.

Сумма определяется равенством

а произведение - равенством

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают следующими свойствами:

1. (коммутативность сложения.)

2. (коммутативность умножения).

3. (ассоциативность сложения).

4. (ассоциативность умножения).

5. (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Упражнение. Проверить свойства 1-5.

Упорядоченная пара обладает тем свойством, что сложение ее с любой другой упорядоченной парой не меняет этой пары: . Упорядоченная пара играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; называют ее нуль-парой.

Определение 4. Пусть и - два комплексных числа.

Разностью двух упорядоченных пар называют такую

упорядоченную пару , что .

Найдем x и y. Поскольку , то , т.е. , , откуда , .

Таким образом, вычитание упорядоченных пар определяется формулой

Определение 5. Частным двух упорядоченных пар и

называют такую упорядоченную пару , что

Найдем x и y. Так как , то , т.е. , . Эта система имеет решение , .Если , т.е. , то частное двух упорядоченных пар определяется так: .

Из последнего равенства при , т.е. , получаем, что

Значит, роль единицы при делении упорядоченных пар выполняет упорядоченная пара .

1.1.2 Множество комплексных чисел как расширение множества действительных чисел.

Рассмотрим комплексные числа вида . Множество, состоящее из всех таких чисел, обозначим С^*.

Если каждому действительному числу а сопоставим комплексное число , т. е. , то получим некоторое соответствие между множеством R и множеством С^*. Это соответствие является взаимно однозначным.

Для любых двух действительных чисел а и b имеем . Если учесть, что , то можно записать . Это означает, что сумме действительных чисел а и b отвечает сумма соответствующих им комплексных чисел.

То же самое относится к произведению: так как и , то . Итак, произведению действительных чисел а и b отвечает произведение соответствующих им комплексных чисел.

Из сказанного следует, что если отождествить каждое действительное число а с комплексным числом , то тем самым множество R действительных чисел с его обычной арифметикой окажется как бы вложенным в множество С комплексных чисел. В этом смысле говорят, что множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел.

1.1.3 Алгебраическая форма комплексного числа.

Арифметические действия над комплексными числами.

Сопряженные комплексные числа. Свойства операции сопряжения.

Условимся в дальнейшем не делать различия между комплексным числом вида и действительным числом а, т. е. ; основанием для такого соглашения являются одинаковые «арифметики» в множествах R и С^*.

Рассмотрим упорядоченную пару . Согласно закону умножения комплексных чисел, имеем , тогда .

Определение 6. Упорядоченную пару ,.удовлетворяющую

соотношению или , называют мнимой единицей.

С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число. В самом деле, так как

то

Теперь можно забыть о первоначальном способе задания комплексного числа как пары и записывать комплексное число в виде .

Определение 7. Выражение называют алгебраической формой

комплексного числа. Число а называют действительной частью,

число b – мнимой частью комплексного числа .

Если задано комплексное число , то действительную часть числа обозначают (от франц. reele – «действительный»), а мнимую - (от франц. imaginaire – «мнимый»). Например, , .

Если , то число - действительное; если , то число имеет вид и называется чисто мнимым.

Определение 8. Пусть . Число , отличающееся от лишь

знаком коэффициента при мнимой части, называется

сопряженным числу и обозначается .

Итак, по определению, .

Если - действительное число, т.е. , то . Таким образом, любое действительное число равно своему сопряженному.

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами следует, что

1. ,

2. ,

3. ,

4. .

Формула 1 определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула 2 означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого, необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Формулу 3 можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены его значением: