Основные виды поверхностей второго порядка

ИДЗ-6

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

ЗАДАНИЯ

(номер варианта соответствует номеру в списке)

Задание 1. Решить задачи

	1. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости . 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. Проверить, лежит ли прямая на плоскости .
2.	1. Плоскость a проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость b задана уравнением . Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат. 2. Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость, параллельную плоскости . Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках". 3. Показать, что прямые взаимно перпендикулярны.
3.	1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 1; 2) параллельно векторам . Найти угол между построенной плоскостью и плоскостью . 2. Найти острый угол между прямыми, одна из которых задана уравнением , другая проходит через точки А (2; -5; 3) и В (13; 2; -5). 3. При каких значениях В и n прямая перпендикулярна плоскости ?
4.	1. При каком значении l плоскости a и b будут перпендикулярны? Плоскость a проходит через точки К (-1; ; 0), М (2; -1; 1), N (8; 1; -1). Плоскость b задана уравнением .   2. Найти угол между прямыми и . 3. Найти значение m, при котором прямая параллельна плоскости .
5.	1. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точки A (1; ; ), В (2; 0; 1) параллельно оси OZ, а b - через точки С (2; 2; 1), D (6; 1; 0) и E (-1; -1; 3). 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. Найти угол между прямой и плоскостью .
6.	1. Написать канонические уравнения прямой: . 2. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними. 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М (-3; 5; -1) и перпендикулярно прямой .
7.	1. Найти угол между плоскостью и плоскостью, проходящей через точки М (1; 1; 1) и N (2; 3; -1) параллельно вектору ={0; -1; 2}. 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. При каком значении n прямые будут взаимно перпендикулярны?
8.	1. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости с прямыми . 2. При каком значении m прямые будут взаимно перпендикулярны? 3. Написать уравнение плоскости, которая проходит через точку М (3; 1; -2) и прямую .
9.	1. Плоскость a проходит через точку М (-5; 4; 13) и отсекает на осях координат равные отрезки. Плоскость b задана уравнением, . При каком значении m плоскости a и b будут перпендикулярны? 2. Написать канонические уравнения прямой: 3. При каких значениях А и С прямая лежит в плоскости ?
10.	1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М (1; -1; 2), N (3; 1; -2) и перпендикулярной к плоскости ХОY. 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. При каком значении С плоскость будет параллельна прямой .
11.	1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1) параллельно векторам ={0; 1; 2} и = {-1; 0; l}.Указать особенность в расположении плоскости. 2. Найти проекцию точки М (1; 2; -3) на плоскость . 3. Параллельны ли прямые ?
12.	1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М(1; 2; 0) и N(2; 1; 1) параллельно вектору ={3; 0; 1}. Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках. 2. Написать канонические уравнения прямой: .   3. При каких значениях В и D прямая лежит в плоскости ?
13.	1. Найти расстояние от точки М (0; -1; 1) до плоскости, проходящей через точки А(1; 4; -5) и В(4; 2; -3) и перпендикулярной плоскости . 2. Найти точку пересечения прямой с плоскостью и угол между ними. 3. При каком значении m прямые будут взаимно перпендикулярны?
14.	1. Определить объем тетраэдра, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью, проходящей через точку М(-3; -6; 4) перпендикулярно вектору ={2; -1; 6}. 2. Найти острый угол между прямыми: 3. Прямая проходит через точки А(3; -1; 0) и В(х; -7; 3) и параллельна плоскости . Определить абсциссу точки В.
	1. Найти расстояние от точки М(2; 1; 1) до плоскости, проходящей через точку N(-1; -1; 2) и перпендикулярной плоскостям . 2. Плоскость проходит через точки А(3; 1; 1), В(-7; ; 0) и С(-1; 1; ). Написать уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно к этой плоскости. 3. При каких значениях m и n прямые будут параллельны?
16.	1. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точку А () перпендикулярно оси OZ, a b - через точки В(2; -1; -1), С(-1; 0; 2) и D(0; -2; 0). 2. При каком значении n прямые будут взаимно перпендикулярны? 3. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(3; -1; -4), перпендикулярно плоскости . Найти точку пересечения прямой и плоскости.
17.	1. Из точки Р(-1; 1; 4) опущен на плоскость перпендикуляр, основанием которого является точка Q(2; 1; 3). Составить уравнение плоскости и указать особенности в её расположении. 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. При каком значении р прямые будут параллельны?
18.	1. Определить, при каких значениях m и n плоскости будут параллельны, и найти расстояние между ними. 2. Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением , другая проходит через точку А(1; 2; 3) и точку пересечения указанной прямой с плоскостью . 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М(-3; 1; 0) и через прямую .
19.	1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(4; 6; -3), B(-2; -1; 7) и отсекающей равные отрезки на осях ОУ и OZ. Найти расстояние от точки С(5; -7; 8) до построенной плоскости. 2. Провести через точку пересечения плоскости с прямой прямую, лежащую в этой плоскости и перпендикулярную к данной прямой. 3. Прямая проходит через точки А(х; 5; 9), В(2; у; 21) и параллельна прямой . Определить абсциссу точки А, ординату точки В.
20.	1. Найти угол между плоскостями a и b, где a. проходит через точку М(3; -1; -2) параллельно плоскости XOZ, a b отсекает на осях координат отрезки a = 2, b = -4, . 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 5; 1) параллельно прямой .
21.	1. Найти угол между плоскостями a и b, где a проходит через точки А() и B() параллельно оси OY, а b задана уравнением . 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .
22.	1. Через точку А(-2; 4; 8) проведены две плоскости: одна из них содержит ось OX, другая - OZ. Вычислить угол между этими плоскостями. 2. Плоскость a проходит через точки А(х; 1; 2), В(-2; 1; 1), С(2; -1; -2); плоскость b задана уравнением . Определить абсциссу точки А так, чтобы плоскости были перпендикулярными. 3. Написать канонические уравнения прямой: .
23.	1. На осях координат отложены от начала координат отрезки, соответственно равные 1, 2 и 3 ед.; концы этих отрезков соединены прямыми. Найти точку пересечения и угол между плоскостью полученного треугольника и прямой, проходящей через точки А(0; 4; -2), В (3; -1; 2). 2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(-4; 3; -8) перпендикулярно двум прямым: . 3. При каком значении n прямая параллельна плоскости ?
24.	1. Найти расстояние от точки К (3; -2; 1) до плоскости, проходящей через точки М (5; -4; 3) и N (-2; 1; 8) и перпендикулярной плоскости YOZ. 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. Доказать, что прямые параллельны.
25.	1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(10; -5; 2), B(16; 3; 11), С(-11; -33; 0), и указать особенность в её расположении. 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. Найти угол между прямыми, одна из которых задана уравнением другая проходит через точки М(1; 0; 3) и N(5; -2; 7).
26.	1. Плоскость α проходит через точку M1(1; 3; 1) параллельно плоскости . Плоскость β проходит через точку M2(5; -1; 2) и содержит ось . Найти угол между плоскостями α и β. 2. Написать каноническое уравнения прямой . 3. Через точку M1(2; 3; 6) провести плоскость перпендикулярную прямой .
27.	1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(1; 1; 1), M2(2; 3; 4) и перпендикулярной плоскости . Полученное уравнение привести к уравнению в отрезках и построить плоскость. Найти объем пирамиды, образованной этой плоскостью и координатными плоскостями. 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку B(3; 4; -4) параллельно прямой . При каком m построенная прямая будет перпендикулярна прямой . 3. При каких значениях A и B прямая лежит в плоскости .
	1. Плоскость α проходит через точку Р(2; 1; 1) и отсекает на осях ох и oy отрезки, соответственно равные 4 и -6. Плоскость β задана уравнением . При каких m и n плоскости будут параллельны? Найти расстояние между этими плоскостями. 2. При каком n плоскость будет параллельна прямой ? 3. Прямая α проходит через точки M1(3; 4; 7) и M2(-1; 3; 3). Прямая β проходит через точку Р(3; 2; -1) параллельно прямой . Найти угол между прямыми α и β.
	1. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох перпендикулярно к плоскости . 2. Написать канонические уравнения прямой: . 3. Проверить, лежит ли прямая на плоскости .
	1. Плоскость a проходит через точки А (-1; 3; 4), B (-1; 5; 0) и C (2; 6; 1), плоскость b задана уравнением . Показать, что плоскости перпендикулярны, и выяснить, какая из них расположена ближе к началу координат. 2. Через точку М (2; 3; -1) провести плоскость, параллельную плоскости . Составить для построенной плоскости уравнение в "отрезках". 3. Показать, что прямые взаимно перпендикулярны.

Задание 2. Изучить основные виды поверхностей второго порядка. Результаты оформить в виде таблицы 1.

Рекомендуемая литература. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. - М.: Айрис-пресс, 2011.С. 104 -115.

Таблица 1

Основные виды поверхностей второго порядка

Задание 3. Определить вид поверхностей второго порядка, сделать схематический чертеж.

1.	а)	б)
2.	а)	б)
3.	а)	б)
4.	а)	б)
5.	а)	б)
6.	а)	б)
7.	а)	б)
8.	а)	б)
9.	а)	б)
10.	а)	б)
11.	а)	б)
12.	а)	б)
13.	а)	б)
14.	а)	б)
15.	а)	б)
16.	а)	б)
17.	а)	б)
18.	а)	б)
19.	а)	б)
20.	а)	б)
21.	а)	б)
22.	а)	б)
23.	а)	б)
24.	а)	б)
25.	а)	б)
26.	а)	б)
27.	а)	б)
28.	а)	б)
	а)	б)
	а)	б)