Статистическая проверка статистических гипотез. Виды гипотез Ошибки 1-го рода, ошибки 2-го рода

Гипотеза - это предположение о некоторых свойствах изучаемых явлений. Под статистической гипотезой понимают всякое высказывание о генеральной совокупности, которое можно проверить статистически, т.е. опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке. Рассматривают два вида статистических гипотез: гипотезы о законах распределения генеральной совокупности и гипотезы о параметрах известных распределений.

НАПРИМЕР:

1) Генеральная совокупность распределена по закону Пуассона.

2) Математическое ожидание генеральной совокупности равно 100.

3) Дисперсии двух генеральных совокупностей равны.

4) На Марсе есть жизнь – не статистическая гипотеза

Подлежащая проверке гипотеза называется нулевой, или основной, и обозначается Н ₀. Нулевой гипотезе противопоставляют конкурирующую, или альтернативную, гипотезу, которую обозначают Н ₁. Как правило, конкурирующая гипотеза Н₁ является логическим отрицанием основной гипотезы Н _0.

Примером нулевой гипотезы может быть следующая: средние двух нормально распределенных генеральных совокупностей равны, тогда конкурирующая гипотеза может состоять из предположения, что средние не равны. Символически это записывается так:

Н ₀: М (Х) = М (Y); Н ₁: М (Х) М (Y).

Если нулевая (выдвинутая) гипотеза будет отвергнута, то имеет место конкурирующая гипотеза.

Различают гипотезы простые и сложные. Если гипотеза содержит только одно предположение, то это – простая гипотеза. Сложная гипотеза состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Например, гипотеза Н ₀: p = p₀ (неизвестная вероятность p равна гипотетической вероятности p₀) - простая, а гипотеза Н ₀: p < p₀ - сложная, она состоит из бесчисленного множества простых гипотез вида Н ₀: p = p_i, где p_i - любое число, меньше p₀.

Выдвигаемая статистическая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому необходимо ее проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке; проверку производят статистическими методами, поэтому ее называют статистической.

При проверке статистической гипотезы пользуются специально составленной случайной величиной, называемой статистическим критерием (или статистикой). Принимаемое заключение о правильности (или неправильности) гипотезы основывается на изучении распределения этой случайной величины по данным выборки. Поэтому статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер: всегда существует риск допустить ошибку при принятии (отклонении) гипотезы. При этом возможны ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута нулевая гипотеза, хотя на самом деле она верна.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята нулевая гипотеза, хотя в действительности верна конкурирующая.

В большинстве случаев последствия указанных ошибок неравнозначны. Что лучше или хуже - зависит от конкретной постановки задачи и содержания нулевой гипотезы. Рассмотрим примеры.

Если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечёт материальный ущерб: если же принято неправильное решение «продолжать строительство», несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода может повлечь гибель людей. Можно привести примеры, когда ошибка первого рода влечёт более тяжёлые последствия, чем ошибка второго рода.

Вероятность совершить ошибку первого рода называют уровнем значимости критерия и обозначают .

В большинстве случаев уровень значимости критерия принимают равным 0,01 или 0,05. Если, например, уровень значимости принят равным 0,01, то это означает, что в одном случае из ста имеется риск допустить ошибку первого рода (то есть отвергнуть правильную нулевую гипотезу).

Вероятность совершить ошибку второго рода обозначают . Вероятность не совершить ошибку второго рода, то есть отвергнуть нулевую гипотезу, когда она неверна, называется мощностью критерия.

Статистическую гипотезу проверяют с помощью специально подобранной случайной величины, точное или приближенное распределение которой известно. Эту случайную величину называют статистическим критерием (или просто критерием).

Существуют различные статистические критерии, применяемые на практике: U и Z -критерии (эти случайные величины имеют нормальное распределение); F -критерий (случайная величина распределена по закону Фишера - Снедекора); t -критерий (по закону Стьюдента); -критерий (по закону "хи-квадрат") и др.