Из закона Фарадея - Ленца следует выражение для ЭДС самоиндукции




(16.3)

 

Если L = const, то

 

. (16.4)

 

Электродвижущая сила самоиндукции противодействует в соответствии с правилом Ленца изменению тока в контуре, замедляя его убывание или возрастание. Мерой инертности контура по отношению к изменению в нем тока является индуктивность контура.

 
 

 


Закон изменения силы тока в цепи (рис.16.1) при включении или отключении источника постоянного тока с ЭДС (Е) имеет вид

 

, (16.5)

 

где I 0 – сила тока в начальный момент времени (при t = 0), R – электрическое сопротивление цепи, L – ее индуктивность.

При замыкании цепи начальный ток I 0 = 0 и зависимость силы тока от времени имеет вид

 

. (16.6)

График этой зависимости показан на рис.16.2.

 
 

 

 


Рис.16.2 Рис.16.3

 

При отключении источника ЭДС (без изменения сопротивления R цепи) ток в цепи убывает по закону

 

. (16.7)

 

График этой зависимости показан на рис. 16.3.

Взаимной индукцией называется явление возникновения электродвижущей силы в одном из контуров при изменении силы электрического тока в другом, индуктивно связанном с первым контуром (рис.16.4).

 
 

 


Если в контуре 1 течет ток силой I 1, то магнитный поток, создаваемый этим током, пропорционален I 1. Обозначим ту часть потока, которая пронизывает контур 2, Ф21.

Тогда

 

Ф21 = L 21 I 1, (16.8)

 

где L 21 – коэффициент пропорциональности.

Если ток I 1 изменяется, то в контуре 2 индуктируется ЭДС Ei 2, которая, по закону Фарадея - Ленца, равна скорости изменения магнитного потока Ф21, созданного током I 1 в первом контуре и пронизывающего второй:

. (16.9)

 

Аналогично при протекании в контуре тока I 2 магнитный поток (его поле на рис. 16.4 изображено пунктиром) пронизывает первый контур. Если Ф12 – часть этого потока, пронизывающего контур 1, то

 

Ф12 = L 12 I 2. (16.10)

 

Если ток I 2 изменяется, то в контуре индуктируется ЭДС Ei 1, равная скорости изменения магнитного потока Ф12, созданного током I 2 во втором контуре и пронизывающего первый:

 

. (16.11)

 

Коэффициенты пропорциональности L 12 и L 21 называются взаимной индуктивностью контуров. Можно показать, что если контуры находятся в неферромагнитной среде, то L 12 = L 21 = М.

Взаимная индуктивность М зависит от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и магнитной проницаемости окружающей контуры среды.

Единица измерения взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности – генри (Гн).

Выражение для ЭДС взаимной индукции при условии (L 12 = L 21 = М = = const):

 

и . (16.12)

 

Выражение для взаимной индуктивности двух соленоидов, намотанных на общий сердечник:

 

(16.13)

 

где и - плотность витков первой и второй катушек соответственно.

Энергия магнитного поля, связанного с током в проводнике, равна

 

. (16.14)

 

Объемной плотностью энергии w m магнитного поля называется энергия этого поля, отнесенная к его объему:

 

, (16.15)

 

где dWm – энергия, заключенная в малом объеме dV поля, который выбран таким образом, чтобы в его пределах поле можно было считать однородным. В изотропной, линейной и неферромагнитной среде

 

, (16.16)

 

где В и Н – модули векторов магнитной индукции и напряженности в рассматриваемой точке поля.

 

Примеры решения задач

 

Задача 1. По соленоиду течет ток I = 2 А. Магнитный поток Фm, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 .10-6 Вб. Определить индуктивность соленоида, если он имеет N = 800 витков.

 

Дано:

I = 2 А

Фm = 4 .10-6 Вб

N = 800 витков

L -?

ному со всеми N витками соленоида, когда по нему идет ток, равный единице силы тока, т.е.

,

где y - потокосцепление, равное

.

Тогда

.

 

Подставим численные значения и вычислим L:

 

= 1,6 .10-3 Гн.

Ответ: L = 1,6 .10-3 Гн.

 

Задача 2. Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на 50 , то на концах соленоида возникает среднее значение ЭДС самоиндукции, равное 0,08 В. Найти индуктивность соленоида.

 

Дано: Решение

= const 1. По закону Фарадея - Ленца

< Es > = 0,08 В ,

L -? где y - потокосцепление.

2. Потокосцепление равно y = L I, тогда , так как индуктивность соленоида не изменяется.

3. Если ток в соленоиде изменяется по произвольному закону, то выражает среднее изменение тока в единицу времени, тогда выражает среднее значение < Es > за интервал времени D t.

Следовательно,

 

.

 

Вычислим значение индуктивности:

 

= 1,6 .10-3 Гн.

 

Ответ: L = 1,6 .10-3 Гн.

 

Задача 3. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода. Диаметр провода d = 0,2 мм, диаметр соленоида D = 5 см. По соленоиду течет ток I = 1 А. Определить, какое количество электричества протечет через обмотку соленоида, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

 

 

Дано:

d = 0,2 мм = 2 .10- 4 м

D = 5 см = 5 .10-2 м

I = 1 А

rмеди = 1,7 .10-8 Ом.м

q -?

 

По закону Ома

,

 

где R – сопротивление соленоида, а I – индукционный ток, текущий через соленоид при замыкании обмотки.

Тогда

По закону Фарадея - Ленца

Тогда

.

 

Интегрируя полученное выражение, получаем

 

 

где - начальное потокосцепление, - конечное.

Потокосцепление y пропорционально силе тока в соленоиде, следовательно,

, а = 0,

 

так как ток в этот момент обратится в нуль.

Тогда

или

Индуктивность соленоида равна

 

,

 

где l – длина соленоида.

Сопротивление

 

,

 

где lпр – длина медного провода, S 2 – его площадь.

Длина провода

 

lпр = p D N,

где p D – длина одного витка, N – число витков, S 2 = – площадь сечения провода.

Тогда

.

 

Подставим индуктивность и сопротивление в формулу заряда:

 

.

 

Длина соленоида находится из соотношения

 

,

 

где d – диаметр провода, а N – число витков соленоида (витки плотно прилегают друг к другу).

Тогда

 

.

 

Подставим числа и вычислим

 

Кл.

Ответ: q = 1,45 .10-4 Кл.

 

Задача 4. Соленоид с железным сердечником длиной 50 см и площадью сечения S = 10 см2 имеет 1000 витков. Найти индуктивность этого соленоида при токах: 1) I = 0,1 А; 2) I = 0,2 А; 3) I = 2 А.

 

Дано:

l = 50 см = 0,5 м

S = 10 см2 = 10-3 м2

N = 1000

1) I = 0,1 А

2) I = 0,2 А

3) I = 2 А

L -?

 

 

среда обладает свойством намагничиваться, то m ¹ 1. Железо является ферромагнетиком, оно сильно намагничивается при внесении в магнитное поле, m железа » 1. При протекании тока по соленоиду создается однородное магнитное поле, напряженность которого

 

.

 

Индукция магнитного поля ,

 

.

 

Магнитная проницаемость зависит от Н, а Н – от тока I. Зависимость μ от Н представлена на рис. 16.5.

 
 

 

 


Рис.16.5

 

Зная напряженность магнитного поля, созданного током I, можно найти индукцию магнитного поля В для данного значения напряженности, воспользовавшись графиком зависимости В от Н (см. прил.), а затем вычислить μ - магнитную проницаемость для данного тока I в соленоиде.

 

= 400 .

.

.

Из графика определяем

В 1 = 0,8 Тл, В 2 = 1,2 Тл и В 3 = 1,6 Тл.

 

Вычислим значение .

Тогда

Гн.

Гн.

Гн.

 

Ответ: L 1 = 8 Гн, L 2 = 6 Гн, L 3 = 0,8 Гн.

 

Задача 5. На соленоид с немагнитным сердечником длиной 0,2 м и площадью поперечного сечения 3.10-3 м2 надет проволочный виток. Число витков соленоида N 1 = 320. Какая средняя ЭДС взаимоиндукции возникнет в витке, если ток соленоида I = 3 А выключить в течение D t = 0,001 с.

 

Дано:

l = 0,2 м

S = 3 .10-3 м2

N 1 = 320

N 2 = 1

I 1 = 3 А

I 2 = 0

D t = 0,001 с

< Евз > -?

4)

5) , D I = I 2I 1 = 0 – I 1, m = 1 (сердечник немагнитный).

В.

 

Ответ: < Евз > = 0,018 В.

 

Задача 6. На один немагнитный сердечник намотаны две катушки, имеющие индуктивности L 1 = 0,2 Гн и L 2 = 0,8 Гн. Какой ток потечет во второй катушке, если ток I 1 = 0,3 А в первой катушке выключить в течение 0,001 с. Сопротивление второй катушки R 2 = 600 Ом.

 

Дано:

L 1 = 0,2 Гн

L 2 = 0,8 Гн

I 1 = 0,3 А

R 2 = 600 Ом

D t = 0,001 с

I 2 -?

Решая эти три уравнения, получаем

 

,

 

то есть

.

 

Тогда

.

 

Подставляя численные значения, находим

А.

Ответ: I 2 = 0,2 А.

 

Задача 7. На железный стержень длиной 50 см и сечением 2 см2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке 0,5 А.

 

Дано:

l = 50 см = 0,5 м

S = 2 см2 = 2 .10-4 м2

= 20 = 2.103

I = 0,5 А

Wт -?

 

Индуктивность

,

где - объем соленоида, - магнитная постоянная, = 4 p ·10-7 .

,

 

где В – индукция магнитного поля внутри соленоида, Н – напряженность.

Подставив в формулу энергии индуктивность и магнитную проницаемость, получим

,

.

 

Найдем величину Н

Н = 2 .103 . 0,5 = 103 .

 

Тогда величину В можно найти из графика зависимости В от Н (см. прил.).

При Н = 103 В = 1,3 Тл.

Вычислим энергию магнитного поля

 

= 0,065 Дж.

Ответ: Wт = 0,065 Дж.

 

Задача 8. При индукции магнитного поля В = 1 Тл объемная плотность энергии магнитного поля в железе wт = 200 . Какова магнитная проницаемость m железа в этих условиях?

Дано:

В = 1 Тл

wт = 200

m -?

 

 

Из второй формулы можно определить m непосредственно:

 

Вычислим m:

.

 

Ответ: m = 2000.

 

Задача 9. При некоторой силе тока плотность энергии магнитного поля соленоида (без сердечника) w = 0,2 . Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник?

Дано:

I 1 = I 2

H 1 = I 1 n, H 2 = I 2 n, I 1 = I 2, H 1 = H 2;

 

. (2)

 

При одном и том же токе напряженность поля будет одна и та же.

 

 

(нет сердечника).

Тогда

.

 

Из формулы (1) следует

 

.

 

Из графика зависимости В от Н (см. приложение) находим

 

В 2 = 1 Тл, В 2 = Н.

Тогда

;

.

Ответ: .

 

Задача 10. Катушка имеет сопротивление R = 10 Ом и индуктивность L = 0,144 Гн. Через сколько времени после выключения в катушке возникнет ток, равный половине установившегося?

Дано:

R = 10 Ом

L = 0,144 Гн

t -?

 

,

 

где I 0 – установившийся ток в катушке (начальный ток), I – ток в момент времени t, R – сопротивление катушки, L – ее индуктивность.

Тогда

;

с.

 

Ответ: t » 9 .10-3 с.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-05-01 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: