этап. Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения.

Свойство 1. Если в уравнении ах² + bх +с = 0, а + b + с = 0, то один из его корней равен 1, а другой, в соответствии с теоремой Виета, равен с/а.

Доказательство: Имеем а+b+с=0, тогда b= - (а+с). Найдем дискриминант D=b² -4ас= а²+2ас+с² - 4ас = а²- 2ас+с²=(а - с)². Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 1: х² + х – 2 = 0; а = 1, в = 1, с = -2. Так как 1+1–2 =0, то х₁ =1, х₂ = -2.

Свойство 2. Если в уравнении ах² + bх + с = 0, а – b + с = 0 или b=a+c, то один из его корней равен –1, а другой –с/а.

Доказательство: Имеем а - b+с=0, тогда b= а+с. Найдем дискриминант D=b² -4ас= а²+2ас+с² - 4ас = а²- 2ас+с²=(а - с)². Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 2: х² – х – 2 = 0. Так как 1 – (- 1) + (-2) = 0, то х₁ = -1, х₂ = 2.

Свойство 3. Если a = c, b = a² + 1, то x₁ = - a, x₂ = -1/a.

Доказательство: Имеем a = c, b = a² + 1. Найдем дискриминант D=b² -4ас= а⁴+2а²+1 - 4а² = а⁴- 2а²+1=(а² - 1)². Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 3. 3х²+10х+3=0, а=3, b=10, с=3. Так как а=с=3, b=3²+1=10, то х₁= -3, х₂=-1/3.

Свойство 4. Если a = c, b = -(a² + 1), то x₁ = a, x₂ = 1/a.

Доказательство: Имеем a = c, b = -(a² + 1). Найдем дискриминант D=b² -4ас= а⁴+2а²+1 - 4а² = а⁴- 2а²+1=(а² - 1)². Формула корней этого квадратного уравнения имеет вид: . Отсюда имеем Что и требовалось доказать.

Пример 4. 3х² - 10х+3=0, а=3,b=-10,с=3. Так как а=с=3, b=-(3²+1)=-10, то х₁=3, х₂=1/3.

Приём переброски.

, первый коэффициент в качестве множителя «перебрасываем к -3», получим уравнение

Корни 9 и -2. Делим числа 9 и (-2) на 6: