Проблема обоснования математического знания это проблема доказательства. Она сводится к решению двух вопросов: к обоснованию строгости (законченности) математических доказательств и к обоснованию непротиворечивости математических теорий. На первый вопрос должен быть дан отрицательный ответ, если мы имеем в виду теории на стадии их становления. Трудность положительного ответа заключается в том, что рассуждение, доказывающее строгость какого-либо доказательства, само должно быть обосновано в своей строгости.
Одним из самых ярких примеров античной математики стала геометрия Евклида. Еще пифагорейцы создали геометрическую алгебру, первичным элементом которой был отрезок. Сложение и вычитание понималось как приставление и отбрасывание отрезков, Умножение двух отрезков позволяло строить площади, трех — объемы. Все задачи решались с помощью циркуля и линейки. Но методы геометрической алгебры имели принципиальные ограничения: позволяли определить только один положительный корень квадратного уравнения, не могли решаться уравнения выше третьей степени, был целый ряд нерешаемых задач (квадратура круга, удвоение куба, трисекция угла). Евклид пошел дальше и создал теорию геометрии, которая изучала величины, фигуры и их границы, их отношения, а также относительные положения и движения. При этом все эти тела находились не в пространстве, а в шаре, потому что основу космологических представлений античности составляла Геометрия шара.
В период Средневековья в математике не произошло существенных переворотов. Философия математики также стояла на мертвой точке. Только в XIV-XV вв. В Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Появлялись и развивались совершенно новые математические идеи, которые сегодня можно отнести к дифференциальному и интегральному исчислению. Они возникли в связи с потребностями науки. Движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию можно полностью описать в системе "теория-приложение", т.е как диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная система.
Академик А. Н. Колмогоров, разрабатывая аксиоматику теории вероятностей. Обобщая труды многих ученых, он и другие исследователи сумели выделить единую основу всех математических наук – теорию множеств, указав, что математика изучает свойства структур, создаваемых в ее различных областях, на основе аксиоматики.
Многие философы настаивали на принципиальной нестрогости любого математического доказательства. Например, И. Лакатос защищал положение, согласно которому идеально строгих доказательств не существует. Лакатос исходил из эмпирического взгляда на формирование математических понятий. Никакое понятие не свободно от интуиции и опыта. Он утверждал, что проблема строгости математических доказательств может сводиться к необходимости выбора между эмпиризмом и априоризмом.
Парадоксы теории множеств и математической логики поставили перед математиками задачу найти общие причины этого явления и указать минимальные ограничения для логики математических рассуждений, достаточных для устранения парадоксов. Данную задачу можно считать решенной. Уже в самом начале обсуждения проблемы Б.Рассел и Э. Цермело указали необходимые ограничения для аксиом логики и теории множеств, устраняющие все известные парадоксы. Метод, предложенный Расселом, состоял в разделении математических объектов по уровням абстрактности и в соответствующем ограничении области определения логических функций.
В начале XX в. были намечены три программы обоснования математики: логицизм, интуиционизм и формализм. Программа логицизма была сформулирована немецким математиком и философом Г. Фреге еще до появления парадоксов. Ее суть состояла в сведении понятия математики к понятиям логики и представить принципы математических теорий в качестве общезначимых логических истин. Т.к. классическая логика базируется на простой и предельно ясной системе понятий, то, согласно Фреге, мы имеем основания предполагать ее абсолютную непротиворечивость. А. Уайтхед и Б. Рассел в своем фундаментальном труде «Principia Mathematica» (Vol. 1—3. 1910—1913) анализировали основные математические теории в плане их сведения к логике и получили, что при условии истинности аксиомы выбора и аксиомы бесконечности такое сведение может быть осуществлено для всех основных математических теорий.
Однако К. Гедель в «О неразрешимых предложениях "Principia Mathematica" и родственных систем» (1931) показал, что почти все математические теории, включая арифметику, если допустить их непротиворечивость, не являются полными. Неполнота математической теории означает, что она содержит в себе положения, истинные при некоторой интерпретации, но логически недоказуемые в теории. Следовательно, использованные Уайтхедом и Расселом элементарные логические исчисления недостаточны для адекватного представления арифметики и более сложных математических теорий.
Программа интуиционизма, родоначальником которой является Л. Брауэр, ставила задачу сведения математики к исходным представлениям арифметики. При этом Брауэр существенно ограничил обычную логику математического рассуждения, изъяв из нее закон исключенного третьего и ряд других схем вывода. В качестве правильных и строгих принимались только конструктивные рассуждения. Понятие актуального бесконечного множества полностью исключалось из математики как противоречивое по своей сущности. Все допустимые математические объекты должны быть построены на основе натуральных чисел и интуитивно ясных операций с ними. В пределах возможностей такого рода конструктивной перестройки математики, она является абсолютно гарантированной от противоречий. Он считал, что конструктивная математика сама по себе не может содержать противоречий и что если бы удалось свести к арифметике достаточно широкую область математики, то вопрос о ее обосновании был бы решен положительно. Однако сам Брауэр вскоре увидел, что основные понятия математического анализа и даже некоторые принципы алгебры не поддаются такого рода конструктивному представлению.
С точки зрения Канта, математика - наука интуитивная, опирающаяся на созерцание: геометрия — на созерцание пространства, арифметика — на созерцание времени. При это при построении математических знаний также принимает участие и мышление. Новое в кантовском подходе к обоснованию математики состояло не в том, что он исключал мышление из построения математических знаний, а в том, что одного мышления он считал для этого недостаточным. Основания для понятий и аксиом нужно искать не в логике, а в интуиции. Положение, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, нельзя получить путем одного только логического анализа понятия «прямая линия»; в понятии прямизны не заключено понятие о величине расстояния. Это положение может быть получено только путем обращения к созерцанию пространства. Основными объектами исследования интуиционистской математики являются конструктивные объекты: натуральные и рациональные числа, конечные множества конструктивных объектов со списком элементов, свободно становящиеся последовательности (последовательности выбора, каждый член которых может быть эффективно доступен), интуиционистские виды (свойства, которыми могут обладать объекты исследования). Свободно становящиеся последовательности различают в зависимости от степени информации, известной исследователю. Если закон формирования последовательности известен полностью, то её называют заданной законом, если известен только начальный отрезок — беззаконной. Виды строятся в иерархию, когда элементы вида определяются независимо от самого вида, что позволяет избегать антиномий. Виды редко являются объектами исследования, большинство результатов интуиционистской математики можно получить без их использования.
Наиболее обоснованной теоретически была формалистская программа, предложенная Д. Гильбертом. Он считал, что обоснование математики, предложенное Расселом, не является строгим, поскольку оно опирается на утверждения типа аксиомы сводимости и аксиомы бесконечности, которые могут быть поняты только как гипотезы. Он был категорически не согласен с подходом Брауэра, который он считал разрушительным для математики. При этом он соглашался с Фреге и Расселом в том, что строгость математики может быть достигнута только через уточнение ее языка и через прояснение логической структуры теории. Гильберт взял у логицистов понятие строгой аксиоматизации и формализации математической теории. Отрицая интуиционизм как способ обоснования математики, он соглашался с Брауэром в том, что закон исключенного третьего неприменим к математическим утверждениям, связанным с бесконечностью. Как и Брауэр, он считал, что истинность математического суждения относительно бесконечного множества предметов не может быть проверена поэтому этого строгая альтернатива, выражаемая законом исключенного третьего, не может быть применена к как безусловная истина. Исходя из этого положения, Гильберт сформулирует принцип финитизма, согласно которому оперирование с бесконечным может быть сделано только через конечное.
Давид Гильберт, основатель формалистической школы, говорил, что математический объект существует, когда он определен непротиворечивым образом. Поэтому проблема доказательства сводится к построению непротиворечивости математической теории. Гильберт попытался аксиоматизировать Евклидову геометрию.
Гильберт создал программу, в рамках которой доказательство неотносительно, а «прямо» и «абсолютно» для аксиоматической системы. Поскольку классическая математика сводилась к трем большим аксиоматическим системам — арифметике, анализу и множествам, то естественно, что Гильберт начал с доказательства непротиворечивости арифметики, чтобы затем перейти к анализу и теории множеств. После Фреге был неизбежен тщательный анализ и лингвистических, и логических механизмов развития теории. Все это ведет к полной формализации теории.
Программа Гильберта была поставлена под сомнение теоремой Гёделя о непротиворечивости: если некоторая теория непротиворечива и неполна, то доказательство ее непротиворечивости не может быть получено средствами, формализованными в этой теории. Мы не можем доказать непротиворечивость арифметики, не прибегая к некоторым средствам, выходящим за пределы арифметики. Провал программ обоснования математики привел к сомнениям относительно возможностей разрешения этой проблемы вообще. Многие современные математики и философы склонны считать, что убеждение в непротиворечивости математических теорий базируется исключительно на практике их использования, которая подтверждает их достаточную надежность в различных областях науки и техники. В этом случае нужно признать, что математика, как и другие науки, обосновывается в конечном итоге только из опыта и не имеет никаких оснований для утверждения своей полной надежности.
Логические исследования, проведенные в течение последнего столетия, свидетельствуют о полной надежности классической логики. Например, исследования А. Н. Колмогорова, показавшие, что теории, использующие закон исключенного третьего, могут быть переведены в систему рассуждений, не опирающуюся на этот закон. Об этом же говорит и теорема Гёделя, согласно которой классическая арифметика столь же непротиворечива, как и арифметика интуиционистская. Если верно, что закон исключенного третьего не имеет тех дефектов, приписываемых ему интуиционистская критика, то можно отказаться от требования конструктивности метатеоретических рассуждений и настаивать лишь на требованиях содержательности и конкретности метаязыка. Это привело бы к строгому обоснованию арифметики, математического анализа и существенной части теории множеств. Аналогичная критика представляется справедливой и в отношении некоторых других требований к метатеории.
Альфреду Тарскому принадлежит целый ряд результатов в математике. Он разработал собственную аксиоматизацию евклидовой геометрии, которая оказалась удачнее аксиоматизации Гильберта. Также известен открытый совместно с Банахом Парадокс БАнаха-Тарского: из шара в евклидовом пространстве можно путём операций разрезания и склейки получить два шара, по объёму равных исходному. Объяснение парадокса состоит в том, что понятие объёма не может быть адекватно истолковано для произвольных множеств, а именно такие «множества без объёма» временно возникали в процессе построения. Парадокс имел большое значение для развитиятеории меры.
Герхард Генцен занимался анализом логических выводов, доказательством непротиворечивости элементарной теории чисел, а также анализом соотношения между интуиционистской и классической арифметикой. Наибольший вклад Генцен внес в доказательственную теорию. Он ввел новые формы построения классической и интуиционистской логик в виде систем натурального вывода и доказал теорему об устранении сечения. Его работа положила начало новому направлению в теории доказательств. Его идеи относились к понятиям доказуемости и недоказуемости в математике и логике, к способам обоснования непротиворечивости формальных теорий.
Петр Сергеевич Новиков рассматривал принципиальные вопросы оснований математики. Он создал оригинальный метод доказательства непротиворечивости (логической совместимости с принципами множеств теории в предположении, что последние сами образуют непротиворечивую систему) предложений теории множеств и получены доказательства непротиворечивости ряда важных положений этой теории.
В настоящее время уже имеются убедительные с математической точки зрения доказательства непротиворечивости математических теорий с использованием семантических соображений. Здесь можно указать на доказательство непротиворечивости арифметики, данное Н.М. Нагорным, которое исходит из понятия реализуемости. Гносеологический анализ показывает, что слишком сильным и не вполне оправданным является также общее требование Гильберта к структуре метатеории, предусматривающее полное исключение из нее определений, не относящихся к математике. Современный логический и гносеологический анализ свидетельствует, что мы можем отказаться не только от ограничений на логику метатеории, но в определенной мере и от требования финитности.
Можно сделать следующий вывод: проблема обоснования математики в настоящее время пока не может считаться решенной ни в положительном, ни в отрицательном смысле. Мы должны хорошо осознавать то обстоятельство, что наше продвижение к строгому обоснованию математики зависит от нашего понимания природы математического мышления, которое находится в процессе постоянного совершенствования.
Глоссарий
Локатос – английский философ венгерского происхождения, один из представителей постпозитивизма
Гегель – немецкий философ, один из творцов немецкой классической философии.
Фреге – немецкий логик, математик и философ. Представитель школы аналитической философии
Брауэр – Положил начало новому направлению в математике —интуиционизму.
Рассел – голландский философ и математик
Уайтхед – британский философ, представитель логицизма.
Гёдель – австрийский логик, математик и философ математики, наиболее известный сформулированной и доказанной имтеоремой о неполноте
Генцен - немецкий математик и логик.
Эмпиризм – направление в теории познания, признающее чувственный опыт источником знания и предполагающее, что содержание знания может быть либо представлено как описание этого опыта, либо сведено к нему.
Априоризм - философское учение, согласно которому существует знание, полученное человеком до опыта и
независимо от него.
Финитизм - философское учение, отрицающее понятие бесконечного и утверждающее, что бесконечность не имеет места ни во вселенной, ни в микромире, ни в человеческом мышлении.
Формализм - предпочтение, отдаваемое форме перед содержанием в различных сферах человеческой деятельности.
Метатеория - теория, изучающая язык, структуру и свойства некоторой др. теории.
Гносеология – теория познания.