Модель связанных диполей

Делокализованные оптические взаимодействия в массивах наночастиц

 

Коллективные решеточные резонансы (КРР), возникающие при наклонном падении в двумерных решетках конечного размера, состоящих из наносфер Si, были изучены с помощью модели связанных диполей. Показано, что гибридизация между резонансами Ми и аномалиями Вуда – Рэлея, зависящими от угла, локализованными на одной наночастице, позволяет эффективно настраивать КРР по всему видимому спектральному диапазону. Сложная природа КРР в решетках их диэлектрических частиц как с электрическим дипольным (ED), так и с магнитным дипольным (MD) резонансами открывает путь для избирательной и гибкой настройки обоих типов КРР путем соответствующего изменения угла падения. Кроме того, очень важны эффекты конечного размера, которые особенно выражены для КРР, возникающих для высоких порядков дифракции при наклонном падении.

 

Теоретическая часть

 

Коллективные решеточные резонансы происходят из-за сильного взаимодействия между наночастицами (НЧ), составляющими решетку, которое обычно происходит при освещении с длиной волны, близкой к аномалиям Вуда – Рэлея в такой решетке. В этом случае большинство НЧ возбуждаются одной и той же фазой, что приводит к сверхузким спектральным характеристикам с высокой добротностью . КРР хорошо изучены для наноструктур из плазмонных наночастиц в течение долгого времени, в то время как полностью диэлектрические аналоги привлекли внимание в относительно недавнее время. В отличие от плазмонных НЧ (в большинстве случаев характеризующихся слабым магнитным и сильным электрическим откликами), полностью диэлектрические НЧ с выраженным электрическим и магнитно-оптическим резонансами приводят к богатому разнообразию перестраиваемых КРР, которые появляются даже в правильной прямоугольной форме решетки [1-3].

Кроме того, двумерные структуры из полностью диэлектрических наночастиц с двумя различными электрическими дипольными и магнитно-дипольными резонансами демонстрируют по своей природе более сложное и интересное поведение по сравнению с соответствующими ситуациями в чисто плазмонных решетках, реагирующих на ED.

Большинство численных и теоретических исследований КРР имеют дело с бесконечно большими решетками из наночастиц при нормальном падении; однако можно предположить, что при наклонном падении все диэлектрические решетки могут демонстрировать множество полезных свойств. В работе [4] хорошо подтверждаются результаты для плазмонных решеток (только с откликом ED), из которых следует, что для полностью диэлектрических НЧ с резонансами ED и MD можно ожидать наблюдения еще большего количества эффектов.

Таким образом, в данной работе представлено изучение электромагнитных свойств двумерных решеток из полностью диэлектрических НЧ при наклонном освещении. Кроме того, работа нацелена на решетки конечных размеров и роль размера массива (с точки зрения общего числа НЧ, составляющих решетку) для КРР возникающих в таких условиях, что более актуально для экспериментальных установок, чем приближение бесконечных массивов.

 

Модель связанных диполей

 

Рассмотрим решетку из сферических наночастиц с конечным количеством частиц , находящихся в вакууме и освещенных плоской волной, где в любом месте , можно записать уравнение:

 

где – и амплитуды электрического и магнитного полей, а - волновой вектор. В рамках точечно-дипольного приближения электрические и магнитные дипольные моменты, индуцированные на i -ых наночастицах при таком падении, связаны с соответствующими диполями на других наночастицах и с внешним полем:

 

(1)

где – положение -ой наночастиц, соответствующие центру решетки, и электрическая и магнитная дипольная поляризуемость, где и – коэффициенты рассеяния, , где – длина волны.

Тензоры и описывают взаимодействие между диполями, индуцированные на -ой и -ой наночастице:

 

где II – тензор компоненты, обозначает тензорное произведение, – меж центровое расстояние между -ой и -ой НЧ, а – символ Леви-Чивиты с , , обозначает декартовы компоненты тензоров.

Для решетки с заданной геометрией и составом наночастиц, решение линейной системы уравнений (1) дает и , индуцированные на каждой -ой НЧ; таким образом, электромагнитный отклик решетки на падающее возбуждение может быть явно найдено. В частности, в этой работе мы рассматриваем общее количество электромагнитной энергии, рассеянной и поглощенной решеткой, нормированной на сумму площади поперечного сечения всех наночастиц, то есть эффективности затухания:

 

(2)

где звездочка обозначает комплексное сопряжение, – радиус наночастиц, и принимает мнимую часть.

 

Аномалии Вуда – Рэлея

 

Коллективные решеточные резонансы появляются на длинах волн, близких (слегка смещенных в красную сторону) к аномалиям Вуда – Рэлея, что в общем случае регулярной двумерной решетки (с шагом и вдоль осей и ) имеет место быть, если:

 

(3)

где и – векторы обратной решетки, – волновой вектор волны, распространяющейся в плоскости решетки, – проекция падения волнового вектора на плоскости решетки, представляет собой пару целых чисел, которые обозначают порядок аномалии, а и – обозначает единичный вектор. Явно, компоненты и в уравнении (3) читаются как:

 

(4)

где и – углы между осью и проекциями на плоскости XOZ и YOZ.

В однородной среде волновой вектор волны, распространяющейся в плоскости решетки, равен , что наряду с уравнениями (4) дает квадратное уравнение для :

 

(4)

где для данной комбинации целых чисел можно получить соответствующую спектральную позицию для аномалии Вуда – Рэлея порядка .

Для специального случая нормального падения () эти аномалии Вуда – Рэлея просто равны длине полны и . Однако уравнение (5) сразу подразумевает, что широкий разброс может привести к появлению КРР, возникающих в результате гибридизации с аномалиями Вуда – Рэлея более высокого порядка (т.е. , ).

 

Теоретические расчеты

 

В работе рассматриваются периодические решетки из наночастиц Si с нм, расположенные в двумерной прямоугольной решетке с нм и нм. При нормальном падении с и , решетки с этими геометрическими параметрами демонстрируют ED и MD КРР при нм и нм соответственно, что является результатом гибридизации между ED и MD резонансов одиночной НЧ с и аномалий Вуда – Рэлея.

Поскольку эффективная настройка ED и MD КРР происходит, если изменяются в направлении, перпендикулярном относительно поляризации или , полезно рассмотреть, изменяя только один угол , оставляя другой . Следуя этому подходу, можно отдельно изучать ED и MD КРР, в то время как для любой другой наклонной доли и , что показывает положительный оптический отклик для исследованных примеров.

На рисунках 1 (б – д) показана эффективность экстинкции для решеток с различными при падении падающего излучения под углами и . Пунктирные линии показывают соответствующие зависящие от угла для аномалий Вуда – Рэлея, которые попадают в видимый диапазон для рассматриваемой геометрии. Видно, что, кроме общих аномалий и , появились аномалии порядка и . Это приводит к появлению дополнительных ED КРР для аномалий при освещении и для аномалий Вуда – Рэлея при падения. Более того, даже при изменение подразумевает постепенное смещение в сторону спектрального диапазона для синего цвета аномалий, что позволяет выполнить точную настройку ED CLR для . Такая зависимая от угла гибридизация между Ми-резонансами на одиночных НЧ и аномалий Вуда – Рэлея открывает путь для эффективной настройки ED КРР в диапазоне 450-540 нм.

 

Рисунок 1. (a) Схематическое представление двумерной периодической решетки из

НЧ с радиусом и шагом и вдоль осей и . Вектор падающей волны лежит в плоскости XOZ, а угол варьируется, а ; (б – е) соответствуют эффективности экстинкции для решеток из НЧ с нм, нм, нм и для другого числа НЧ: (б) ; (с) ; (д) ; (е) .

Пунктирные линии показывают спектральные положения

аномалий Вуд – Рэлея порядка , обозначенные на графиках.

 

Следует отметить, что MD КРР исчезает довольно быстро с небольшим изменением , поскольку сильно зависит от (5); таким образом, при наблюдается только резонанс MD одного NP. Эффективность экстинкции при режиме КРР растет с ростом ; таким образом, КРР, которые возникли в результате взаимодействия с аномалиями высокого порядка, более выражены для больших решеток, что хорошо видно на рисунке 1б для решеток из НЧ до рисунка 1д для решеток из НЧ.

Добротность примерно в два раза больше, чем у обычно рассматриваемых КРР, которые возникли в результате взаимодействия НЧ и аномалий Вуда – Рэлея.

 

Заключение

 

В заключение были рассмотрены особенности коллективных решеточных резонансов, возникающих в двумерных решетках, состоящих из полностью диэлектрических наночастиц при наклонном падении. Для частного случая наносфер Si, с фиксированными периодами , аномалии Вуда – Рэлея высокого порядка находятся в пределах видимого диапазона длин волн и близки к оптическим резонансам одной наночастицы Si. В таких условиях эффективная гибридизация между электрическим дипольным или магнитным дипольным резонансами одной наночастицы с, например, , или аномалиями Вуда – Рэлея приводит к появлению коллективных решеточных резонансов, которые могут наблюдаться только при наклонном падении.

Кроме того, регулируя угол падающего излучения, можно эффективно настраивать спектральное положение таких КРР по всему видимому спектральному диапазону. Все результаты, представленные в настоящей работе, соответствуют одной решетке (с заданными размерами ). Это означает, что оптический отклик рассматриваемой наноструктуры может быть настроен на разный диапазон, путем простого наклона решетки относительно падающего излучения, что в некоторых случаях может быть более предпочтительным по сравнению с другими стратегиями, используемыми для настройки длины волны коллективных решеточных резонансов [5].

Общее число наночастиц в наноструктуры, может играть решающую роль для коллективных решеточных резонансов при наклонном падении в зависимости от силы связи между аномалиями Вуда – Рэлея и резонансом одной наночастицы. Таким образом, результаты, представленные в этой работе, могут быть использованы при разработке фотонных устройств, где настройка резонансного отклика может быть достигнута без сложных технологий

 

1. Markel V. A. Divergence of dipole sums and the nature of non-Lorentzian exponentially narrow resonances in one-dimensional periodic arrays of nanospheres // Journal of physics b: atomic, molecular and optical physics. – 2005. – № 38. – C. 115–121.

2. Zou S., Janel N., Schatz G. C. Silver nanoparticle array structures that produce remarkably narrow plasmon lineshapes // The Journal of Chemical Physics. – 2004. – № 120. – C. 10871–10875.

3. Zou S., Schatz G. C. Narrow plasmonic/photonic extinction and scattering line shapes for one and two dimensional silver nanoparticle arrays // The Journal of Chemical Physics. – 2004. – № 121. – C. 12606–12612.

4. Engineering novel tunable optical high-Q nanoparticle array filters for a wide range of wavelengths / A. D. Utyushev, I. L. Isaev, V. I. Zakomirnyi and etc/ // Optics Express / – 2020. – №2. – C. 1426-1438.

5. Collective Lattice Resonances in All-Dielectric Nanostructures under Oblique Incidence / A. D. Utyushev, V. I. Zakomirnyi, A. A. Ershov and etc. // Photonics / – 2020. – № 2. – C. 1-11.