основание позиционной системы счисления – это количество различных знаков или символов, которые используются для изображения цифр в данной системе счисления.
| Основание системы счисления | Цифры, используемые в системе счисления 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F |
В принципе основанием системы счисления может быть любое натуральное число – два, три, четыре. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления: двоичная, троичная, четверичная и т.д.
Закономерность построения позиционных чисел имеет математическое представление.
Введем обозначения:
q – основание системы счисления;
ai – любая цифра из множества цифр, принятых в данной системе счисления;
i – индекс, который обозначает номер разряда, занимаемого цифрой в числе,
где ai удовлетворяет неравенству
и принимает в этом диапазоне только целые значения.
Позицию для целых чисел обозначим номерами 1,2,…, n, а позиции в правильных дробях – номерами -1, -2,…, -m.
Тогда любое число А в произвольной позиционной системе счисления с основанием q можно записать следующим образом:
An = an-1q n-1 + an-2 q n-2 + … + a1q 1 + a0q 0 + a -1q -1 + … + a – mq -m, (1)
где qi называется позиционным значением или весом i – го разряда.
Для десятичной системы счисления понятие веса разряда соответствует названиям позиций – единицы, десятки, сотни, десятые доли, сотые доли и т.д.
ПРИМЕР:
Для десятичной системы счисления
Разряды 3 2 1 0
Число 2 1 2 410 = 2 х 103 + 1 х 102 + 2 х 101 + 4 х 100
Для двоичной системы счисления
Разряды 3 2 1 0 -1
Число 1 0 0 1, 1 2 = 1 х 23 + 0 х 22 + 0 х 21 + 1 х 2 0 + 1 х 2-1
Для восьмеричной системы счисления
Разряды 3 2 1 0 -1 -2
Число 3 0 5 2, 4 1 8 = 3 х 83 + 0 х 82 + 5 х 81 + 2 х 8 0 + 4 х 8-1 +1 х 8-2
3 Образование целых чисел в позиционных системах счисления. Правило счета
В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.
Существует понятие продвижение цифры, которое означает замену ее следующей по величине.
Например, продвинуть цифру 1 значит заменить ее на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить ее на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры означает замену ее на 0.
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа. Если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от нее.
Применяя это правило, запишем первые пять целых чисел:
2{0,1} – в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100,………..
3{0,1,2} – в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11,…………
5{0,1,2,3,4} – в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4,………….
8{0,1,2,3,4,5,6,7} – в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4,………….
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Применяя правило счета, запишите продвижение пяти целых чисел, следующих за указанным в варианте:
| Номер варианта | Число | Номер варианта | Число |
| 1102 | 1013 | ||
| 203 | 156 | ||
| 115 | 116 | ||
| 56 | 134 | ||
| 34 | 147 | ||
| 47 | 158 | ||
| 78 | 1112 | ||
| 10102 | 11002 |
4 Таблица соответствия между системами счисления
Кроме десятичной системы счисления используются системы счисления с основанием, являющимся целой степенью числа 2:
# двоичная (используются цифры 0,1)
# восьмеричная (используются цифры 0,1,…,7)
# шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0,1,2,…,9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Таблица соответствия между числами в этих системах счисления приведена ниже:
| 10 - я | 2 - я | 8 - я | 16 -я | 10 - я | 2 - я | 8 - я | 16 -я | |
| A | ||||||||
| B | ||||||||
| C | ||||||||
| D | ||||||||
| E | ||||||||
| F | ||||||||
Двоичная система имеет некоторые преимущества перед другими системами счисления, например:
Ø для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.п.);
Ø представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
Ø возможно применение аппарата Булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
Ø двоичная арифметика намного проще десятичной.
Недостатком двоичной системы считается малая мощность ее алфавита (всего 2 числа – нуль и единица), вследствие чего представление числа «удлиняется» по сравнению с другими системами. Например, число 1024 в десятичной системе занимает 4 разряда, в двоичной - 11 разрядов (100000000002), в 16-ной – 3 (40016).
5 Правила перевода чисел из одной системы счисления
в другую
5.1 Перевод целого положительного числа из десятичной системы счисления в любую другую позиционную систему
Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо:
разделить исходное число N на основание системы q
2. выделить целую часть частного и остаток. Остаток будет являться младшим разрядом числа
3. целая часть принимается за исходное число и повторяется пункт 1 до тех пор, пока целая часть будет > q.
ПРИМЕР: Переведем число 53 из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.
в двоичную
в восьмеричную
в шестнадцатеричную
Сделаем проверку. Используя формулу (1), переведем найденные числа в десятичную систему счисления.
110 1012 = 1х25 + 1х24 + 0х23 + 1х22 + 0х21 + 1х20 = 32+ 16+ 0+ 4 + 0+ 1 = 5310
658 = 6 х 81 + 5 х 80 = 48 + 5 = 5310
3516 = 3 х 161 + 5 х 160 = 48 + 5 = 5310
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Перевести целое число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, аналогично примеру и сделать проверку.
| Номер варианта | Число | Номер варианта | Число |
5.2 Арифметические операции в позиционных системах счисления
Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются так же, как и в десятичной системе – сложение, вычитание и умножение – столбиком, деление – углом. Для каждой системы счисления существуют свои таблицы сложения и умножения.
Сложение
Таблицы сложения составляются с помощью Правила Счета.
Сложение в двоичной системе
| + | 0 1 |
| 0 1 1 10 |
Сложение в восьмеричной системе
| + | 0 1 2 3 4 5 6 7 |
| 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 2 3 4 5 6 7 10 11 3 4 5 6 7 10 11 12 4 5 6 7 10 11 12 13 5 6 7 10 11 12 13 14 6 7 10 11 12 13 14 15 7 10 11 12 13 14 15 16 |
Сложение в шестнадцатеричной системе
| + | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | B | C | D | E | F | |||||||||||
| A | A | B | C | D | E | F | ||||||||||
| B | B | C | D | E | F | 1A | ||||||||||
| C | C | D | E | F | 1A | 1B | ||||||||||
| D | D | E | F | 1A | 1B | 1C | ||||||||||
| E | E | F | 1A | 1B | 1C | 1D | ||||||||||
| F | F | 1A | 1B | 1C | 1D | 1E |
При сложении цифры суммируются по разрядам, и, если при этом возникает переполнение, то 1 переносится в старший разряд (влево).
ПРИМЕР 1: Сложить числа 14 и 7 в различных позиционных системах счисления.
|
Десятичная: 1410 + 710 Двоичная: 1 1102 + 1112 Восьмеричная: 168 + 78
|
|
Шестнадцатеричная: Е16 + 716
Ответ: 14 + 7 = 2110 = 10 1012 = 258 = 1516
Проверка. Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные суммы в десятичные:
10 1012 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110
258 = 2 x 81 + 5 x 80 = 16 + 5 = 2110
1516 = 1 x 161 + 5 x 160 = 16 + 5 = 2110
ПРИМЕР 2: Сложить числа 15, 6 и 4 в различных позиционных системах счисления.
Десятичная:1510 + 610 + 410 Двоичная: 1 1112 + 1102 + 1002
|
|
Восьмеричная: 178 + 68 + 48 Шестнадцатеричная: F16 + 616 + 416
|
|
Ответ: 1510 + 610 + 410 = 2510 = 11 0012 = 318 = 1916
Проверка. Преобразуем полученные двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные суммы в десятичные:
11 0012 = 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 2510
318 = 3 x 81 + 1 x 80 = 24 + 1 = 2510
1916 = 1 x 161 + 9 x 160 = 16 + 9 =2510
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Сложить числа в различных позиционных системах счисления, аналогично примеру 1.Сделать проверку.
| Номер варианта | Числа | Номер варианта | Числа |
| 18 и 56 | 49 и 39 | ||
| 34 и 12 | 27 и 58 | ||
| 63 и 34 | 76 и 26 | ||
| 48 и 14 | 14 и 79 | ||
| 25 и 23 | 82 и 17 | ||
| 72 и 41 | 57 и 34 | ||
| 52 и 23 | 36 и 47 | ||
| 85 и 23 | 68 и 16 |
5.3 Прямой, обратный и дополнительный двоичные коды
В компьютерной арифметике, которая базируется на двоичной системе счисления, операция «вычитания» заменяется операцией «сложения».
Рассмотрим, как это происходит.
Для хранения целых чисел в памяти ЭВМ выделяется фиксированное число двоичных разрядов – бит. Рассмотрим 8–и битовое представление числа. Каждый бит нумеруется «слева – направо» от 0 до 7.
| вес разряда нумерация бит в байте |
| 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 |  20
|
7 6 5 4 3 2 1 0
Старший бит – седьмой – используется для знака числа: 0 – это положительное число, 1 – отрицательное.
Если в разрядах байта с 0 по 6 поместить абсолютное значение числа, а в 7-ом бите установить его знак (0 или 1), то полученное представление числа называется прямым двоичным кодом.
Если в прямом коде число представлено как отрицательное (7-ой бит равен 1), то в числе инвертируются [2] все разряды, кроме знакового. Такое представление числа называется обратный двоичный код.
После прибавления к обратному коду 1 получается дополнительный двоичный код.
Использование дополнительного двоичного кода позволяет создавать схемы, выполняющие вычитание, умножение и деление посредством операции сложения.
Рассмотрим на примерах операцию вычитания для 8-и битовых чисел.
ПРИМЕР 1: Вычесть число 3 из 5 (1012 – 0112).
· Запишем абсолютное значение числа -3 в байте
· В знаковый – седьмой – бит запишем признак отрицательности числа 1 и получим прямой двоичный код числа -3.
· Инвертируем все разряды в числе, кроме знакового
Получим обратный двоичный код числа -3.
· Прибавим к обратному коду единицу
Получим дополнительный двоичный код числа -3.
· Сложим число 5 и дополнительный двоичный код числа -3
Получили число 0102 = 210.
Ответ: 1012 – 0112 = 0102
Проверка: Сделаем проверку, преобразуя двоичные числа к десятичному виду:
510 – 310 = 210
ПРИМЕР 2: Вычесть число 49 из 63
· Прямой двоичный код числа -49
· Инверсный код числа -49 (обратный двоичный код)
· Дополнительный код числа -49
· Сложим число 63 и дополнительный код числа -49
Получили число 11102 = 1410
Ответ: 11 11112 – 11 00012 = 11102
Проверка: 6310 – 4910 = 1410
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ. Используя схемы примера 1 или 2, сделайте вычитание целых чисел, используя дополнительный двоичный код.
| Номер варианта | Числа | Номер варианта | Числа |
| 81 и 17 | 64 и 32 | ||
| 42 и 18 | 51 и 28 | ||
| 42 и 36 | 92 и 48 | ||
| 61 и 28 | 67 и 29 | ||
| 74 и 28 | 82 и 29 | ||
| 62 и 39 | 53 и 29 | ||
| 43 и 28 | 83 и 38 | ||
| 78 и 49 | 68 и 29 |
Контрольные вопросы
1. Что такое система счисления?
2. Какие существуют системы счисления?
3. Какие непозиционные системы счисления вы знаете?
4. Приведите примеры записи чисел 467, 89011 в непозиционной системе счисления.
5. Сформулируйте правило, как определяется величина числа в римской системе счисления?
6. Для чего используются непозиционные системы счисления?
7. Чем отличаются позиционные и непозиционные системы счисления?
8. Что такое основание позиционной системы счисления?
9. Для чего используются позиционные системы счисления?
10. Может ли число 5 являться основанием системы счисления?
11. Существует ли двенадцатеричная система счисления?
12. Как математически записать любое число А в произвольной позиционной системе счисления?
13. Что является весом разряда?
14. Приведите пример, указав номер разряда и его вес.
15. Сформулируйте правило, как образуются целые числа в позиционных системах счисления?
16. Приведите пример образования трех целых чисел в шестеричной позиционной системе счисления после числа 6.
17. Что означает понятие продвижение цифры в позиционной системе счисления?
18. Как представляется десятичное число 8 в 16-ной, 8-ной и 2-ной системах счисления?
19. Какие существуют достоинства и недостатки двоичной системы счисления?
20. Что такое мощность алфавита?
21. Правило перевода целого положительного числа из 10-ной системы счисления в любую другую позиционную систему.
22. Как выглядит число 36710 в 16-ной, 8-ной и 2-ной системах счисления?
23. Применяя правило счета, составьте фрагмент таблицы сложения в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления.
24. Сложите числа 17, 6 и 5 в различных позиционных системах счисления. Сделайте проверку.
25. Какое представление числа называется прямым двоичным кодом? Приведите пример.
26. Какое представление числа называется обратным двоичным кодом? Приведите пример.
27. Что такое дополнительный двоичный код? Приведите пример.
28. Сделайте вычитание чисел 51 и 28, используя дополнительный код.
Литература
1. Андреева Е.В., Фалина И. Н. Системы счисления и компьютерная арифметика, Издательство: Лаборатория Базовых Знаний
2. Андреева Е.В. Системы счисления и компьютерная арифметика. Издание 3 Бином. Лаборатория знаний
3. Ашарина и. В. Основы программирования на языках С и С++
4. Гашков С. Б. Системы счисления и их применение
5. Гашков С. Б. Системы счисления и их применение
6. Еремина Е.А. Как работает современный компьютер
7. Касаткин В.Н. Азбука кибернетики
Содержание
1 Непозиционные системы счисления. 3
2 Позиционные системы счисления. 4
3 Образование целых чисел в позиционных системах счисления. Правило счета. 6
4 Таблица соответствия между системами счисления. 8
5 Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.. 10
5.1 Перевод целого положительного числа из десятичной системы счисления в любую другую позиционную систему. 10
5.2 Арифметические операции в позиционных системах счисления. 12
Сложение. 12
5.3 Прямой, обратный и дополнительный двоичные коды.. 17
Контрольные вопросы.. 19
Литература.. 21
[1] Схемы выполняются в табличном процессоре Excel. Разбивочную сетку можно убрать командами СЕРВИС-ПАРАМЕТРЫ. Содержимое экрана копируется в буфер клавишей Print Screen и вставляется в стандартную программу Paint. Затем выделенный фрагмент вставляется в документ.
[2] Инверсия- замена 0 на 1, а 1 на 0