Работа по дисциплине «Статистика экономических рисков»

Выполнила студентка

экономико-математического факультета

группы № 441

Журавлева Л.В.

Проверила:

Белая М.Л.

Москва 2011

Целью данной работы является изучение цены и динамики акций отдельных компаний, формирование инвестиционного портфеля акций, который будет состоять из 3х видов обыкновенных акций (а именно: ГМК Норильский Никель, Лукойл, М.видео), расчет всех необходимых показателей и анализ прибыльности сформированного портфеля.

В приложении представлена статистика стоимости акций компаний ГМК «Норильский Никель», ОАО «Лукойл», ОАО «М.видео» с 11 января 2011 года по 16 февраля 2011 года.

Динамика цен закрытия для всех видов акций представлена ниже.

Чтобы посмотреть распределение цены и объема продаж первым этапом выполнения работы было преобразование в интервальный ряд распределения цены закрытия и объема продаж по каждой компании. Результаты данной операции приведены ниже.

Как видно из гистограмм, ни одно из распределений не подчиняется нормальному закону. Распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, в особенности анализа данных. Случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, когда она подвержена влиянию большого числа случайных факторов, что является типичной ситуацией в анализе данных. Поэтому нормальное распределение является хорошей моделью для многих реальных процессов. Если исследуемый процесс подчиняется нормальному закону распределения (о чем принимается соответствующая статистическая гипотеза, проверяемая по различным критериям), то его статистический анализ существенно упрощается. В частности, предположение о нормальности распределения коэффициентов регрессии используется в регрессионных моделях. К сожалению в нашей работе является затруднительным определение закона распределения цен закрытия и объема продаж для всех видов акций. Оно близко к нормальному, но все же не является таковым Это в дальнейшем будет немного осложнять процесс анализа и прогнозирования.

Следующим этапом выполнения анализа портфеля стал расчет средней и средневзвешенной цен закрытия для каждой акции. Средняя цена закрытия акции ГМК Норильский Никель с 11 января по 16 февраля составляет 7387,82 руб.

В то время, как средняя взвешенная стоимость этих же акции составляет 7393,58 руб.

Средняя цена закрытия акции «Лукойл» с 11 января по 16 февраля составляет 1905,26 руб.

В то время, как средняя взвешенная стоимость этих же акции составляет 1905,33руб.

Средняя цена закрытия акции «М.видео» с 11 января по 16 февраля составляет 269,82 руб.

В то время, как средняя взвешенная стоимость этих же акции составляет 271,02 руб

Значение средней цены закрытия по всем акациям и средневзвешенной стоимости акций всегда буду не на много отличаться, т.к. при расчете средневзвешенной стоимости акции идет поправка на веса, которая и дает небольшое увеличение значения. Расчет средневзвешенной уточняет значение цены.

Следующим этапом был расчет таких показателей как мода, медиана, эксцесс и асимметрия совокупности цен закрытия и объемов продаж всех 3х видов акций.

Медиана - возможное значение признака, которое делит ранжированную совокупность (вариационный ряд выборки) на две равные части: 50 % «нижних» единиц ряда данных будут иметь значение признака не больше, чем медиана, а «верхние» 50 % — значения признака не меньше, чем медиана.

Мода — значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто

Коэффициент эксцесса - мера остроты пика распределения случайной величины.

Коэффициент асимметрии - величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс, . Если хвосты распределения «легче», а пик острее, чем у нормального распределения, то . сли хвосты распределения «тяжелее», а пик более «приплюснутый», чем у нормального распределения, то . Область возможных значений эксцесса .

Расчеты для обыкновенных акций компании Лукойл:

Расчеты для обыкновенных акций компании М.видео:

Расчеты для обыкновенных акций компании Норильский никель:

Следующим этапом был расчет дисперсии и коэффициента вариации для цен закрытия и по объему продаж всех видов акций, входящих в портфель.

Вспомним, что дисперсия— мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется стандартным отклонением. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75% случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89% — не более чем на три.

Коэффициент вариации - мера относительного разброса случайной величины; показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Чем больше значение коэффициента вариации, тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.

Рассчитываются эти 2 показателя по следующим формулам:

Рассчитаем эти параметры для цены закрытия на акции всех 3х компаний.

1) Акции компании Лукойл:

Таким образом, мера рассеивания продаж от среднего значения за весь период составило 1621 руб. в квадрате. В относительном выражении отклонение измерянных значений от среднего значения за весь период составило 2, 11%, что меньше 10 %, следовательно, изменчивость вариационного ряда можно считать незначительным. Таким образом, можно сделать вывод о практически стабильном поведении спроса и предложения на акции этой компании.

1. Акции компании М.видео:

Таким образом, мера рассеивания продаж от среднего значения за весь период составило 36,22 руб. в квадрате. В относительном выражении отклонение измерянных значений от среднего значения за весь период составило 2, 23%, что меньше 10 %, следовательно, изменчивость вариационного ряда можно считать незначительной. Таким образом, можно сделать вывод о практически стабильном поведении спроса и предложения на акции этой компании.

1. Акции компании Норильский никель:

Таким образом, мера рассеивания продаж от среднего значения за весь период составило 40166,8 руб. в квадрате. В относительном выражении отклонение измерянных значений от среднего значения за весь период составило 2, 71%, что меньше 10 %, следовательно, изменчивость вариационного ряда можно считать незначительной. Таким образом, можно сделать вывод о практически стабильном поведении спроса и предложения на акции этой компании.

Следующим этапом оценивания и следования сформированного портфеля был расчет коридоров ошибок для цен закрытий и объемов продаж акций компаний ГМК «Норильский Никель», ОАО «Лукойл», ОАО «М.видео».

Вычисления представлены ниже.

1) Для акций Норильского Никеля:

Следовательно, можно сделать вывод, что в коридор попало 69% всех данных, в коридор попало 96% всех данных, в коридор вошли все данные из выборки.

Следовательно, можно сделать вывод, что в коридор попало 88,5% всех данных, в коридор попало 96% всех данных, в коридор вошло 96,2% данных из выборки.

2) Для акций М.Видео:

Следовательно, можно сделать вывод, что в коридор попало 73% всех данных, в коридор попало 96% всех данных, в коридор вошли все данные из выборки.

Следовательно, можно сделать вывод, что в коридор попало 73% всех данных, в коридор попало 96% всех данных, в коридор вошли все данные из выборки.

3) Для акций Лукойл:

Следовательно, можно сделать вывод, что в коридор попало 73% всех данных, в коридор попало 96% всех данных, в коридор вошли все данные из выборки.

Следовательно, можно сделать вывод, что в коридор попало 65,4% всех данных, в коридор попало 92,3% всех данных, в коридор вошли все данные из выборки.

Эти расчеты говорят, о том что в каждом определенном интервале определенное процентное отношение наблюдений попадает в него. Также мы можем заметить выполнения правила 3 сигм. Вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, не превышает 5%.

Следующий шаг - расчет доходности акций приведенных 3х компаний.

Статистика доходностей по всем видам акций представлена в приложении.

Доходность или Ставка доходности (англ. Rate of return) — Процентное изменение стоимости инвестиции в финансовые активы за определенный период времени. Рассчитывается по формуле:

Где:

r _{- доходность;}

V_e - конечная стоимость финансового актива;

V_b - исходная стоимость финансового актива.

На этом этапе была получена только статистика доходностей, большим интересом для нас является преобразование их в интервальный ряд распределения, построение гистограмм распределения доходностей и расчет средних значений.

После преобразования в интервальный ряд распределения доходностей, мы построили гистограммы распределения, которые представлены ниже.

Стоит заметить, что ни одно распределение не подчиняется нормальному закону распределения. Часто значения доходностей концентрируются только в нескольких интервалах. Это говорит, о стабильной динамики изменения цен, а следовательно доходностей. Например доходность акций ОАО «М.видео» сконцентрированы только в интервалах от-3,29 до -0,29%, от -0,29 до 2,71%, от 2,71 до 5,71%, т. е. максимальное значение доходности, которое вероятней всего получить это 5,71 %. Также данные разброс говорит о нестабильности динамики цен и о падении цен в последний период наблюдаемого временного отрезка. А доходности Норильского Никеля сосредоточены в интервале от 1,87% до 5,87%, Это говорит о стабильном росте цен на акции.

Расчет средних значений доходностей % (ЦБ) показал, что наиболее доходным активом в нашем портфеле является акции компании ОАО «Лукойл». Также были рассчитаны основные показатели для доходностей компаний.

Из расчетов видно, что акции компании Лукойл являются наиболее привлекательными для вложения средств. Кроме отмеченной высокой доходности они обладают наименьшей дисперсией (из данных 3х видов), что характеризует их как менее рискованные по сравнению с остальными бумагами, а также меньшим коэффициентом вариации, что говорит, о стабильности поведения доходности.

Следующий этап – расчет скользящего среднего и коридора Боллинджера.

Впервые метод коридоров стандартных отклонений ввел в обращение Перри Кауф- м ман (Perry Kaufman) в своей книге «Новые методы и системы игры на фьючерсных рынках» (The New Commodity Trading Systems and Methods, New York: John Wiley&Sons, 1987), а уже позднее ставший горячим поклонником нового индикатора технический аналитик из штата Калифорния Джон Боллинджер (John Bollinger) обратил на него внимание многих биржевых специалистов, и сегодня коридоры стандартной девиации в основном известны как полоса Боллинджера.

Ширина коридоров, вычерчиваемых индикатором полосы Боллинджера, меняется в зависимости от подвижности рынка. Более строго коридоры полосы индикатора Боллинджера называются коридорами стандартного отклонения (standard deviation channels).

Все расчеты по вычислению представлены в Приложении.

Графики построенного коридора Боллинджера представлены ниже.

При анализе портфеля следует рассмотреть зависимость динамик акций между собой. Рассчитаем коэффициент корреляции цен закрытия для всех видов акций. Корреляционная матрица представлена ниже:

Анализируя корреляционную матрицу, можно отметить, что самая сильная прямая зависимость наблюдается у акций компании ГМК «Норильский никель» и ОАО «М.видео». Не смотря на сильную связь, эти компании занимают свое место в различных областях производства. Так что эту связь можно определить как общий рост, наблюдаемый на том момент на рынке, т.к. экономической составляющей в этой зависимости не наблюдается. Стоит отметить, что между Лукойл и М.видео наблюдается несильная обратная связь, а также между Лукойлом и Нор. Никелем. Т е. при росте цен на акции первых, цены вторых скорее всего будут падать. Для дальнейшего анализа связи построим диаграммы рассеивания.

Применяется для выяснения зависимости одной переменной величины (показателя качества продукции, параметра технологического процесса, величины затрат на качество и т.п.) от другой.

Например:

- характеристика качества и влияющий на нее фактор;

- две различные, но связанные между собой характеристики качества;

- два фактора, влияющие на одну характеристику качества.

Диаграмма не дает ответа на вопрос, служит ли одна переменная величина причиной другой, но она способна прояснить, существует ли в данном случае причинно-следственная связь вообще и какова ее сила.

Наиболее распространенным статистическим методом выявления подобной зависимости является корреляционный анализ, основанный на оценке коэффициента корреляции.

При анализе диаграмм рассеивании наши предположение о значительной связи между М.видео и Нор. Никель подтверждаются.

В качестве следующего шага, построим линейный тренд для цен закрытия акций и попытаемся с его помощью спрогнозировать цены закрытия на 27 мая 2011 года (предполагаемая дата продажи портфеля акций).

Тренд — длительная тенденция изменения экономических показателей. Когда строятся экономико-математические модели прогноза, тренд оказывается основной составляющей прогнозируемого временного ряда, на которую уже накладываются другие составляющие (напр., сезонные колебания). Среди способов выявления тренд наибольшее распространение имеют метод наименьших квадратов и разные способы выравнивания временных рядов (по средней, скользящей средней и т. д.). Линейный тренд имеет вид y_t = a + bt, где t — время; a и b — параметры, которые можно выявить методом наименьших квадратов. График такой функции — прямая.

Построим предварительные графики прогноза для значения цены закрытия для всех акций, входящих в портфель. Прогнозирование является важной составляющей принятия решения об инвестировании денег в тот или иной вид акций.

Прогнозируемая цена закрытия акции ОАО «М.видео» 276,05 рублей.

Прогнозируемая цена закрытия акции ОАО «Лукойл» 2184,03 рублей.

Прогнозируемая цена закрытия акции ГМК «Норильский Никель» 5598,288 рублей.

Общая динамика прогноза, основой для которого является статистика цен, представленная ранее, является положительной для Лукойл и М.видео. Анализируя данные графики прогноза можно сказать, что инвестируемые нами деньги к концу периода дадут нам большой доход. Однако доля значений объясненных данными уравнениями(на основании которых построены тренды) очень мала. Таким образом, достоверность этих прогнозов оставляет желать лучшего. При последующем анализе мы убедимся, что не смотря на положительные трендовые прогнозы, наш портфель оказался убыточным. Перед этим следует провести дополнительные исследования данных.

Сформируем оптимальный портфель для вложения средств.

Определим доли 3х видов акций в нашем портфеле инвестиций, чтобы риск при этом был минимальным. В качестве метода оптимизации применим метод диверсификации Марковица. Для составление целевой функции, ф-и Лагранжа и ограничений нам потребуются следующие данные и расчетные значения:

Таким образом, при запрещенных коротких продажах для оптимизации структуры портфеля доля вложения всех средств в акции Норникеля составит 0,708, Лукойла – 0,288 и М.видео – 0,0033 (т.е. практически 0, следовательно можно и не включать в портфель). При таком соотношении акций в портфеле общая доходность по портфелю, дисперсия а также СКО составят:

Т.о. доходность сформированного портфеля составит 2,8%

Доминирующей акцией в сформированном портфеле является акция ГМК«Норильский Никель», даже не смотря на то, что рассчитанная ранее доходность по этой акции является не самый большой, в нее мы вкладываем основную часть инвестируемых денег.

Чтобы посмотреть другие возможные варианты портфелей, являющиеся для нас приемлемыми необходимо построить множество инвестиционных возможностей. Эффективная граница будет находиться на верхней границе множества инвестиционных возможностей.

Все расчеты по формированию множества инвестиционных возможностей представлены в Приложении.

График множества допустимых портфелей представлен ниже.

Чтобы посмотреть как рынок влияет на цены акций выбранных компаний проведем бета – анализ. В качестве рыночного показателя возьмем доходность индекса ММВБ за тот же период и что и данные по акциям. Рассчитаем бета-коэффициенты.

Бета-коэффициент (бета-фактор) — показатель, рассчитываемый для ценной бумаги или портфеля ценных бумаг. Является мерой рыночного риска, отражая изменчивостьдоходности ценной бумаги (портфеля) по отношению к доходности портфеля (рынка) в среднем (среднерыночного портфеля).

Формула расчёта коэффициента Бета для актива (или портфеля) относительно рынка:
, где

r_a — доходность актива (или портфеля)

r_m — доходность рынка

D — дисперсия

Из полученных расчетов можно сделать вывод, что все акции коррелируют с рынком и следуют тенденциям его изменения. Т е. они чувствительны к изменения ситуации на рынке и движутся в одном направлении с рынком, т е когда рынок начинаем падать, доходность акций начинает снижаться. Эту зависимость можно увидеть на следующем графике:

График 1.

«Динамика доходности акций по сравнению с рыночным активом»

Рассчитаем стоимостную меру риска. Распространено общепринятое во всём мире обозначение «VaR». Это выраженная в денежных единицах оценка величины, которую не превысят ожидаемые в течение данного периода времени потери с заданной вероятностью (в данном случае 95%).

Таким образом, VaR= 15,67%, т.е. величина доходности инвестиций, которой рискует компания – 15,67%.Вероятность того, что потери превысят эту величину, составляет всего лишь 5%.

Теперь, вложив сумму в 500000 руб в данный портфель проанализируем его прибыльность.

Анализ всех показателей приведен в таблице:

Таким образом, 16 февраля купив акций Норильский Никель по цене 6965 руб на сумму 354185, 73 руб, акции Лукойл по цене 1915, 96 руб на сумму 144 124, 74, и М.видео по цене 287 руб на сумму 1690, 52 и продав эти же акции 27 мая по цене 7010 руб, 1747 руб и 253, 5 соответственно выручим сумму в 489 381, 2968 руб. Эта сумма меньше вложенных нами 500 000руб. Таким образом, доходность наших инвестиций будет отрицательной и составит -2,17 %. Это можно объяснить тем, что на рынке за эти 3 месяца наблюдался спад, а так как наши акции коррелируют с рынком, то и в их доходности произошли изменения в сторону снижения. Учтем, что выросли цены только на акции Норильского Никеля, а для остальных акций цена упала по сравнению с 16 февраля. Таким образом, если бы мы применили стратегию упреждающего свопа и, при условии разрешенных коротких продаж, все деньги постепенно вложили в акции Норильского Никеля, то получили положительную доходность по портфелю. Отметим так же, что реальные цены на 27 мая для Норильского Никеля возросли, хотя исходя из трендового прогноза ожидалось их снижение до 5598 руб за акцию, для М.видео реальные цены упали до 253, 5 руб, хотя по прогнозное значение сулило повышение до 276, 05 руб, для Лукойл реальные цены упали до 1747 руб, хотя по трендовому прогнозу должны были вырасти до 2184, 03 руб. Этот факт лишний раз подтверждает неадекватность построенной модели для прогноза значений цены, и следовательно, для такого прогноза требуется больше данных, учет большего набора факторов, влияющих на прогнозируемый показатель.

В качестве дополнительного источника вложения средств выступает покупака иностранной валюту (Йены) и покупка драгоценного металла (серебра). При выборе данных предполагалось, что курс Йены по отношению к рублю и цены на серебро возрастут ко дню продажи валюты и драгоценного металла. Информация о курсе Йены и цене на серебро за период с 11. 01. 2011 по 16. 02. 2011 представлена ниже

Таблица 2.