Основные этапы математического моделирования

Качественные

Труднодоступные для измерения или неподвергающиеся измерению(цвет объекта)

Количественные

Можно измерять и представлять в виде числа общих мер

Точные

Величина или качество таких данных не вызывают сомнений

Приближенные

Величина или качество которых вызывает сомнения

Определенные(детерминированные)

-2+3=5

Случайные

Идет дождь

Статистическим признаком называют общее свойство присущее только нескольким статистическим данным

❺❺ Виды совокупностей:

1)бесконечные n = ∞

Число элементов таких совокупностей не может быть установлена в виду того, что их большое количество

2)конечные n- конечное число

3)большие n > 30

4)малые n<30

5)генеральные

Содержащие все данные обусловленные постановкой задачи

6)выборочные

Некоторые части генеральных совокупностей

Выборочный метод

Генеральная совокупность и выборка

Пусть требуется изучить множества однородных объектов (статист. совокупность) относительно некоторого качественного или количественного признака характеризующего эти объекты

Лучше всего произвести сплошное обследование и изучить каждый объект

Число объектов генеральной совокупности и выборки наз. объемом генеральной совокупности и объемом выборки

Статит. сов-ть из которой отбирают часть объектов наз. генеральной совокупностью, а множество объектов случайно отобранных из генеральной совокупности наз. выборкой

Если выборку отбирают по одному объекту, кот. обследует и снова возвращает в генеральную совокупность, то выборка наз. повторной

Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность то выборка наз. бесповторной

Считается что выборка репрезентативна если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т.е. выбор проводится случайно

❺❻Способы представления и обработки статистических данных

Исследуемая статист. Совокупность в оптимальном варианте должна иметь т 20 до 300 данных

К наиболее популярным методам обработки и представления статист. данных отнесем сл.:

1. метод средних величин

Он заключается в получении некоторых средних показателей, кот. позволяют анализировать статистические данные

2. интервальный

Он основан на разбиении исходных численных значений на интервалы

3.графический

Предназначен для представления некоторых исходных и полученных результатов в виде графика, гистограммы

Графический способ позволяет осуществить контроль достоверности статист. показателей

❺❼ графический

Предназначен для представления некоторых исходных и полученных результатов в виде графика, гистограммы

Графический способ позволяет осуществить контроль достоверности статист. показателей

Классификация видов графиков:

1.способ построения граф. образа

2.геометр. знаки изобретающие статист. показатели

3.задачи,решаемые с помощью граф. Изобретениях

*картограммы

*диаграммы

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объем кот. равен n, которая изучается по нескольким однородным признакам. Если некоторый признак х, из совокупности однородных признаков наблюдался n раз, признак х₂ n₂ раз то n₁+ n₂ + …+ = n объём выборки.

Наблюдаемое значение признака называют вариантой.

Вариационный ряд – последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке.

Частота – числа наблюдений n₁, n₂ …

Относительные частоты – отношение соответствующей частоты к объёму их выборки n, причём сумма всех относительных частот должна = 1.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

❺❽ Пусть имеется некоторая генеральная совокупность каждый объект которой наделён количественным признаком х, при случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится известным значение объекта х, признака этого объекта.

Допустим из теоретических соображений удалось определить к какому типу распределений относится признак х отсюда сделаем вывод, что найти оценку неизвестного параметра значит найти функцию от нблюдаемых случайных величин, который и даёт приближённое значение оцениваемого параметра.

Числовые характеристики выборки.

1. характеристика положения

· К таковым характеристикам относятся все вопросы, касающиеся качественных показателей

· К ним относятся среднеарифметическая медиана, мода, рантирование данных.

Рантирование данных – распределение получаемых значений признаны в порядке возрастания. Одинаковым числовым данным присваиваются очередные последовательные числа. Рантированные данные представляются в виде таблицы в которой 1 столбец – номер от 1 до n, 2 столбец – значение признака.

2. среднее арифметическое

Х=

Где n – количество данных , i=1, n – числовые данные.

Использование среднего арифметического только тогда, когда разрыв между max и min значением невелик.

3. медиана

Если все элементы медианы в совокупности размещены в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, то медиана – это такое значение признака, которое делит всю совокупность пополам.

В рантированных данных выбирается номер находящейся посередине, если такой номер один, то медиана равна значению признака, стоящего под соответствующим номером.

Если таких номеров 2 – то берётся среднее значение признаков, находящихся под этими номерами.

Срединный номер можно определить визуально и вычислить по формуле:

Если полученное число n – целое, то это и есть средний номер, если число n – дробное – то срединных номеров два. Они непосредственно содержат это дробное число.

4. Мода – значения признака встречающиеся наибольшее число раз.

Если несколько признаков встречаются одинаковое число раз, то берётся среднее значение этого признака.

Если данные сгруппированы по интервалу, интервал содержащий моду называется модальным интервалом т. Е. интервал, содержащий наибольшую частоту.

- начальное значение модального интервала.

h - длина модального интервала.

– частота модального интервала.

– часть интервала.

- часть интервала, следующего за модальным.

Следует помнить, что если все числовые данные окажутся различными, то в этом случае – мода равна среднему арифметическому всех значений.

Среднее значение + медиана, мода в общем случае не совпадают, но в частых случаях могут совпадать все или попарно. Это даёт возможность делать ряд дополнительных выводов и предложений по выборке.

❺❾ Корреляция – зависимость между переменными величинами.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления и формы связи между признаками, изменению её тесноты и к оценке достоверности выборочных показателей корреляции.

Корреляционная связь между признаками может быть линейной и криволинейной, положительной и отрицательной.

Прямая корреляция отражает однотипность в изменении признаков с увеличением значений 1-го признака увеличивается и значение 2-го (или с уменьшением 1-го – уменьшение 2-го)

Обратная корреляция указывает на увеличение 1-го признака при уменьшении 2-го (или наоборот).

Корреляционный анализ как и другие отаплистические методы основаны на использовании вероятных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения и .

Коэфиценты корреляции и их свойства.

Коэф. Корреляции (Р) – для генеральной совокупности как правило неизвестен, поэтому он оценивается по экспериментальным данным, представляющим собой выборку объёма n пар значений и полученную при совместном измерении двух признаков х … у…

Р, определяемый по выборочным данным наз. выборочным коэф. Корреляции (чем просто к. к.) его принято обозначать r.

Коэфицент корреляции – удобный показатель связи получившей широкое применение в практике.

Свойства:

1. Коэф. корр. Способны характеризовать только линейные связи (т.е. те, которые выраж. Уравнением линейной функции)

2. значение коэф. корр. – отвлечённые числа, летающие в пределах -1 до +1

3. при независимом варьировании признаков, когда связь между ними отсутствует r=0

4. при положительной или прямой связи, когда с увеличением значение одного признака возрастает значение 2-го, коэф. корр. Приобретает положительный знак и нах. в пределах от 0 до 1.

5. при отрицательной или обратной связи, когда с увеличением значение одного признака соответственно уменьшает значение другого отрицательным знаком от-1 до 0

6. чем сильнее связь между признаками, чем ближе величина коэф. корр. к единице, то корреляционная связь будет переходить в функционную (т.е. каждому значению х соответствует одно или несколько строго определённых значений х)

7. только по величине коэф. корр. нельзя судить о достоверности корреляционной связи между признаками. Чем выше n, тем выше достоверность связи (а n – число корр. пар) при одном и том же значении коэф.корр.

В практической деятельности когда число корр. пар признаков х и у невелико (n≤30), то при оценке зависимости между показателями используют следующую градацию:

1.высокая степень взаимосвязи (значение коэф. корр. находится в пределах от 0,7 до 0,99)

2.средняя степень взаимосвязи (в пределах от 0,5 до 0,69)

3.слабая степеь взаимосвязи (0,2 – 0,49)

❻⓿ Нормированный коэф. корр. Браве-Пирсона

В качестве оценки генерального коэф. корр. используется коэф. корр. Браве-Пирсона.

Для его определения принимается предложение о двумерном, нормальном распределении генеральной совокупности из которой получены экспериментальные данные.

Нам необходимо проверить предложение о линейности связи между случайными величинами х, у, т.е. для вычисления коэф. достаточно принять предложение о линейности связи между случайными величинами и вычислительным коэф. корр. будет мерой этой линейной связи.

Коэф. корр. Браве-Пирсона относится к параметрическим коэф. и вычисляется по формуле:

Используя этот коэф. корр. следует учитывать, что лучше всего он подходит для оценки взаимосвязи между двумя нормальными переменными.

Если распределение переменных отличается от нормального, то он по-прежнему продолжает характеризовать степень взаимосвязи между ними, но к нему уже нельзя применять методы проверки на значимость.

Коэф. корр. Пирсона не очень устойчив к выбросам и при их наличии можно ошибочно сделать вывод о наличии корр. между ними, поэтому если распределение используемых переменных отличается от нормального, то лучше пользоваться непараметрическим аналогом коэф. ранговой корреляции Спирминга.

❻❷ Математические модели построены с использованием графиков (графовые модели) имеют широкое распространение в науке

В своей практике они при рассмотрении самых различных вопросов вычерчиванием схемы, чертежи, наброски какими-то линиями

Основные этапы математического моделирования

1)Построение модели

На этом этапе задается некот. нематем. объект, четкое понимание ситуации затруднено

2)решение математической задачи к которой приводит модель

На этом этапе большое внимание выделяется разработке алгоритма

3)Интеграция полученных следствий из матем. модели

4)Проверка адекватности модели выясняются и согласовываются результаты эксперимента и следствия

5)Модификация модели

Проводим усложнение модели, чтобы она больше соответствовала действительности

❻❸ Классификация моделей

1)по характеру решаемой проблемы моднли могут быть разделены на:

*функциональные

*структурные

Примеры матем. моделей:

1.задачи о движении

2.задача о бак с маленькой площадью поверхности

3.транспортная задачи

4.задача о радиоактивном распаде

5.задача нахождения связи между структурой и св-ми веществ

6.задача об определении надежности электрической цепи

Требования, кот. предъявляются к матем. модели:

1.полнота описания

2.простота описания объекта

❻❺ Простые и сложные проценты

При решении задач на проценты наиболее распространены след. операции:

1. нахождение процентного значения одной величины по отношению к другой

2.нахождение процентов от величины

3.нахождение величины по известному % ее части

1.формулы расчета доли в процентном отношении

2.формула расчета процента от числа

3.формула увеличения числа на заданный процент(сумма с НДС)

4.формула уменьшения числа на заданный процент

5.формула вычисления исходной суммы (сумма без НДС)

6. расчет % на банковский депозит (формула расчета простых процентов)

S – сумма банковского депозита с процентами

K – первоначальная сумма

Р – годовая процентная ставка

d – количество дней начисления %

D – количество дней в календарном году(365)

Sp – сумма процентов

❻❻Расчет % на банковский депозит при наличии % на % (формула расчета сложных процентов)

Сложным % наз. способ вычисления % первон. Капиталу, при котором % нарастает не только с первоночального вклада, но и с % наросшего в предыдущем периоде

Если % на депозит начисл. Несколько раз через равные промежутки времени и зачисл. Во вклад, то сумма вклада с % вычисляется по формуле сложных процентов: