Контрольная работа
1. На тему: «Линейная регрессия от одного фаткора. Определение тесноты связи.»
Студент С.В. Абрамов
Подпись ФИО
Группа НМТЗМ-102203
Екатеринбург 2021
Определение тесноты связи между случайными величинами
Определив уравнение теоретической линии регрессии, необходимо дать количественную оценку тесноты связи между двумя рядами наблюдений. Линии регрессии, проведенные на рис. 4.1б, в, одинаковы, однако на рис. 4.1б точки значительно ближе (теснее) расположены к линии регрессии, чем на рис. 4.1в.
При корреляционном анализе предполагается, что факторы и отклики носят случайный характер и подчиняются нормальному закону распределения. Тесноту связи между случайными величинами характеризуют корреляционным отношением rxy.
Остановимся подробнее на физическом смысле данного показателя. Для этого введем новые понятия.
Остаточная дисперсия 
характеризует разброс экспериментально наблюдаемых точек относительно линии регрессии и представляет собой показатель ошибки предсказания параметра y по уравнению регрессии (рис. 4.6):
(4.9)
где l=k+1- число коэффициентов уравнения модели.
(4.10)
где 
Средний квадрат отклонения линии регрессии от среднего значения линии 
=C (см. рис. 4.6):
(4.11)
Очевидно, что общая дисперсия 
(сумма квадратов относительно среднего значения ) равна остаточной дисперсии (сумме квадратов относительно линии регрессии) плюс средний квадрат отклонения линии регрессии 
(сумма квадратов, обусловленная регрессией).
(4.11a)
Разброс экспериментально наблюдаемых точек относительно линии регрессии характеризуется безразмерной величиной — выборочным корреляционным отношением, которое определяет долю, которую привносит величина Х в общую изменчивость случайной величины Y.
(4.12)
Проанализируем свойства этого показателя.
1. В том случае, когда связь является не стохастической, а функциональной, корреляционное отношение равно 1, так как все точки корреляционного поля оказываются на линии регрессии, остаточная дисперсия равна =0, а 
(рис. 4.7 а).
2. Равенство нулю корреляционного отношения указывает на отсутствие какой-либо тесноты связи между величинами x и y для данного уравнения регрессии, поскольку разброс экспериментальных точек относительно среднего значения и линии регрессии одинаков, т.е. 
(рис. 4.7 б).
3. Чем ближе расположены экспериментальные данные к линии регрессии, тем теснее связь, тем меньше остаточная дисперсия и тем больше корреляционное отношение.
Следовательно, корреляционное отношение может изменяться в пределах от 0 до 1.
Квадрат корреляционного отношения 
называется коэффициентом детерминации.
Коэффициент детерминации R2 является безразмерной неотрицательной величиной, изменяющейся от 0 до 1 (его часто выражают в процентах). Он показывает долю общей вариации одной переменной, обусловленной изменчивостью другой переменной.
Учитывая, что для компьютеров имеются пакеты программ для статистической обработки результатов исследований, рассмотрим методологию этого подхода на примере простейших линейных и одномерных задач (см. уравнение (4.5)). Идеология решения более сложных задач принципиально не отличается. Более того, как мы увидим в дальнейшем, многие нелинейные зависимости можно свести к линейным.