Приложение 2
Расчетно-графическая работа
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТИПА И РАЗМЕРОВ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ
Краткая теория
В основе кристаллической решётки лежит понятие элементарной ячейки.Она представляет собой минимальный объём, перемещением которого по трем координатным осям можно построить весь кристалл. Кристаллические ячейки делятся по элементам симметрии на семь сингоний:триклинную, моноклинную, ромбическую, ромбоэдрическую, гексагональную, тетрагональную и кубическую. Каждая сингония характеризуется своим набором единичных векторов решетки и углов между осями Х, Y, Z. Например, для кубической сингонии характерными являются соотношения: а = b = c; α= β= γ= 90°, где величины а, b, с – параметры ячейки, а величины α, β, γ — углы между осями.
В каждой сингонии решетки делятся по степени заполнения их атомами. Например, для кубической сингонии характерно наличие трех ячеек: простой кубической – на ячейку приходится один атом; объёмноцентрированной кубической (ОЦК) – на ячейку приходится два атома; гранецентрированной кубической (ГЦК) – на ячейку приходится четыре атома (рис.1).
Все известные в природе кристаллические тела имеют одну из 14 так называемых ячеек Браве, которые отличаются друг от друга типом симметрии и степенью заполнения ячеек атомами. Кристаллическую решетку общего типа называют решеткой с базисом (БЦК) (табл.1).. Решетка с базисом представляется в виде двух вставленных одна в другую подрешеток Бравэ, каждая из которых определяется трансляционными векторами. Базисный вектор устанавливает смещение решеток друг относительно друга. Количество базисных векторов может быть сколь угодно большим.
|
|
Рис. 1.Кубические элементарные ячейки
Операцию определения индексов (HKL) каждой линии рентгенограммы называют индицированием.Исходной формулой для определения миллеровских индексов отражающих плоскостей является формула закона Вульфа - Брэгга: 2dНКL sin θ = nλ. Каждому значению sin θ, следовательно, и dHKL, соответствуют определенные значения миллеровских индексов (HKL) отражающих плоскостей.
Таблица 1
Индексы отражающих плоскостей для кубических решёток
| Номер линии | Простая кубическая | ОЦК | ГЦК |
| (100) | (100) | (111) | |
| (110) | (200) | (200) | |
| (111) | (211) | (220) | |
| (200) | (220) | (311) | |
| (210) | (310) | (222) | |
| (211) | (222) | (400) |
Из квадратичной формы для кубической сингонии
sin2 θ= λ2 (Н2 + К2 + L2) / 4a2
следует, что отношения синусов углов отражения для разных линий рентгенограммы должны быть равны соответствующему отношению сумм квадратов индексов, следовательно, отношению целых чисел.
Задача индицирования сводится к тому, чтобы найти значения sin 2 θдля всех линий рентгенограммы и ряд отношений sin2θi / sin2θ1 = Bi, который сопоставляется с рядами, представленными в табл. 2. Этим сравнением определяется тип решётки исследуемого вещества. Затем, используя данные табл.1, следует присвоить индексы отражающих плоскостей всем линиям рентгенограммы.
Таблица 2
Ряды B для кубических решёток
| Тип решётки | (Hi+ Ki + Li)/(H1 + K1 + I1) |
| Простая кубическая | 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 |
| ОЦК | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
| ГЦК | 1; 1,33; 2,67; 3,67; 4; 5,33; 6,33; 6,67; 8 |
После индицирования рентгенограммы вещества с кубической решеткой постоянная кристаллической ячейки вычисляется по формуле
|
|
(1)
где λ – длина волны медного рентгеновского излучения (λ = 0,154 нм);
Н, К, L – миллеровские индексы отражающих плоскостей;
θ – угол дифракции.
Обработка рентгенограммы и расчетная часть
Рис. 4. Внешний вид рентгенограммы
Определяем из рентгенограммы углы дифракции 2θ, затем θ в градусах и минутах, затем значения sin2θ и числа экспериментального ряда Bi, равные отношению (sin2θ)i каждой линии к (sin2θ)1 первой линии. Сравниваем полученный ряд чисел с табличными рядами, представленными в табл. 2. Этим сравнением определяется тип элементарной ячейки. отражающим плоскостям миллеровские индексы посредством табл. 1.
Рассчитываем по формуле (1) постоянную кристаллической ячейки а для всех линий рентгенограммы в нанометрах до третьего знака после запятой и определяем её среднее арифметическое значение (λ = 0,154 нм). Погрешности вычисляем по методике косвенных невоспроизводимых измерений.
Рентгеноструктурный анализ позволяет рассчитывать постоянную кристаллической ячейки а эксп. с относительной погрешностью ε не более 2 %. При более высоком значении этой величины следует искать ошибки вычислений. Все данные заносим в табл. 3.
Таблица 3
Экспериментальные значения постоянной кристаллической ячейки
| № линии | 2θ | θ | sin θ | sin2θ | Bi | (HKL) | ai, нм | <а>, нм | ∆ai , нм | Δа, нм | ε,% |
|
|
Сравниваем среднее значение параметра элементарной ячейки а эксп. с табличным значением величины а табл. для исследуемого вещества (см. приложение 1), приведенного в табл. 4.
Таблица 4Табличные значения постоянной кристаллической ячейки
| Вещество | а табл, нм |
| Алюминий | 0,405 |
| Медь | 0,361 |
| Никель | 0,352 |
| Хлористый натрий (NaCl) | 0,564 |
Вывод: кристалл _________имеет кристаллическую ячейку типа___
Постоянная кристаллической ячейки: а ЭКСП = (±) нм
ε = %
Отклонение от табличного значения составляет______%.