1.242. Постройте хорду данной окружности, равную и параллельную заданному отрезку.
1.243. Окружность проходит через вершину C и середины D и E сторон BC и AC равностороннего треугольника ABC. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон AB и BC, — касательная к окружности.
1.244. Постройте прямую, касающуюся данной окружности в данной точке, не используя центр окружности.
1.245. Окружность вписана в треугольник со сторонами, равными a, b и c. Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную a.
1.246. Окружность вписана в пятиугольник со сторонами, равными a, b, c, d и e. Найдите отрезки, на которые точка касания делит сторону, равную a.
1.247. Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по разные стороны от прямой OA. Найдите угол CAD, если угол AOD равен 110˚.
1.248. Прямая касается окружности с центром O в точке A. Точка C на этой прямой и точка D на окружности расположены по одну сторону от прямой OA. Докажите, что угол CAD вдвое меньше угла AOD.
1.249. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и радиусу вписанной окружности.
1.250. Проведите к данной окружности касательную, от которой данная прямая отсекала бы данный отрезок, т. е. чтобы один конец отрезка лежал на прямой, а второй — на окружности.
1.251. Постройте точку так, чтобы касательные, проведенные из нее к двум данным окружностям, были равны данным отрезкам.
1.2520. Докажите, что если окружность касается всех сторон четырехугольника, то суммы противоположных сторон четырехугольника равны между собой.
1.253. Окружность высекает на сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
1.254. Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений двух других сторон. Докажите, что прямая AM делит треугольник на два треугольника с равными периметрами.
1.255. В равнобедренный треугольник с основанием, равным a, вписана окружность и к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три маленьких треугольника, сумма периметров которых равна b. Найдите боковую сторону данного треугольника.
1.256. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, BC и AC соответственно в точках K, M и N. Найдите угол KMN, если ∠A = 70˚.
1.257. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC соответственно в точках K, L и M. Известно, что ∠KLM = a. Найдите ∠BOC.
1.2580. Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c. Докажите, что r = 1 2 (a + b − c).
1.259. CH — высота прямоугольного треугольника ABC, проведенная из вершины прямого угла. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ACH, BCH и ABC, равна CH.
1.2600. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M. Пусть AM = x, BC = a, полупериметр треугольника равен p. Докажите, что x = p − a.
1.261. CD — медиана треугольника ABC. Окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD в точках M и N. Найдите MN, если AC − BC = 2.
1.262. На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка D, причем BD − AD = 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружности, вписанные в треугольники ACD и BCD, касаются отрезка CD.
1.2630. Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M, а продолжений сторон AB и AC — в точках N и P соответственно. Вписанная в этот треугольник окружность касается стороны BC в точке K, а стороны AB — в точке L. Докажите, что: а) отрезок AN равен полупериметру треугольника ABC; б) BK = CM; в) NL = BC.
1.264. В треугольник со сторонами 6, 10 и 12 вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает две большие стороны. Найдите периметр отсеченного треугольника.
1.265. Через данную точку проведите прямую, отсекающую от данного угла треугольник заданного периметра.
1.266. Прямая, проходящая через центры двух окружностей, называется их линией центров. Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.
1.2670. Постройте общие касательные к двум данным окружностям.
1.2680. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания окружностей). Докажите, что линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.
1.269. Докажите, что две окружности касаются тогда и только тогда, когда они касаются некоторой прямой в одной и той же точке.
1.270. Две окружности касаются внешним (внутренним) образом. Докажите, что сумма (разность) их радиусов равна расстоянию между центрами. Верно ли обратное?
1.271. Окружность с центром O касается в точке A внутренним образом большей окружности. Из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена хорда BC большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке M. Докажите, что OM k AC.
1.272. Окружности с центрами O1 и O2 касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекает их общую касательную, проходящую через точку K, в точке M. Докажите, что ∠O1MO2 = ∠AKB = 90˚.
1.273. В острый угол, равный 60˚, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.
1.274. Две окружности касаются внутренним образом. Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми равен 60˚, касаются меньшей окружности. Найдите отношение радиусов окружностей.
1.2750. Две окружности касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает эти окружности вторично в точках B и C соответственно. Докажите, что касательные, проведенные к этим окружностям в точках B и C, параллельны.
1.276. Постройте окружность, касающуюся данной прямой и данной окружности в данной на ней точке.
1.277. В четырехугольнике MNPQ расположены две непересекающиеся окружности так, что одна из них касается сторон MN, NP и PQ, а другая — сторон MN, MQ и PQ. Точки B и A лежат соответственно на сторонах MN и PQ, причем отрезок AB касается обеих окружностей. Найдите сторону MQ, если NP = b и периметр четырехугольника BAQM больше периметра четырехугольника ABNP на 2p.