Примеры решения типовых задач. Решение.Сделаем чертеж, на котором изобразим силы, действующие на брусок (рис

8. Брусок, масса которого , тянут вдоль горизонтальной поверхности с силой , приложенной под углом к горизонту. При этом брусок за время изменил свою скорость от до , двигаясь без отрыва от плоскости. Найти коэффициент трения бруска о поверхность.

Решение. Сделаем чертеж, на котором изобразим силы, действующие на брусок (рис. 1.10). Запишем второй закон Ньютона в векторном виде

, где:

N – сила нормальной реакции опоры, F _m – сила трения.

Ускорение можно найти из кинематического уравнения

Исключив ускорение, имеем

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и , учитывая, что и , поскольку движение происходит вдоль оси . Получим систему

Поскольку , имеем

Из последней системы исключаем и окончательно находим

9. Два груза с массами кг и кг соединены нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок. Найти ускорение , с которым двигаются грузы, и силу натяжения нити . Трением в оси блока пренебречь.

Решение. Воспользуемся тем, что нить нерастяжима. Выберем бесконечно малый элемент нити и запишем уравнение движения в проекции на ось (рис. 1.11):

Поскольку , имеем . Этим результатом можно пользоваться при дальнейшем решении задач: если нить невесома, то сила натяжения нити одинакова во всех ее точках.

Покажем, что ускорение грузов также одинаково. Вследствие того, что нить нерастяжима, грузы проходят за одно и то же время одинаковый путь

, ,

т.е. . Но направления векторов и – противоположны.

Запишем второй закон Ньютона для грузов в проекции на ось ОY:

для первого груза: , (1)

для второго груза: . (2)

Вычитая (2) из (1), после преобразований имеем:

м/с². (3)

Для того, чтобы найти силу натяжения нити, (3) подставим в (1) и после преобразований будем иметь

Н.

10. На вершине двух наклонных плоскостей, которые образуют с горизонтом углы и , закреплен невесомый блок. Грузы кг и 2 кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, которая перекинута через блок. Определить ускорение , с которым двигаются грузы, и силу натяжения нити . Коэффициенты трения грузов о плоскости равны друг другу . Трением в оси блока пренебречь.

Решение. Прежде всего, надо выполнить рисунок и определить все силы, которые действуют на каждый груз. На каждый из грузов действуют четыре силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры , сила натяжения нити и сила трения . Последняя сила всегда направлена в сторону, противоположную направлению относительной скорости тела (как указано выше). Если направление движения системы неизвестно, то нельзя указать направление силы трения. Но сила трения скольжения не может изменить направление движения на противоположное (она может лишь уменьшить скорость), поэтому надо сначала определить направление движения системы в случае, когда трение отсутствует, а потом уже решать задачу, учитывая силы трения.

Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в векторной форме для каждого тела отдельно:

1 тело:

2 тело:

Выберем направление осей координат, как указано на рис. 1.12. Предположим, что груз движется вниз. В скалярной форме относительно выбранных осей координат уравнения движения будут иметь вид:

1 тело

на ось : ,

2 тело

на ось : ,

на ось : .

Поскольку по условию задачи нить нерастяжима, то . А из условий, что массами нити и блока, а также силами трения в блоке можно пренебречь, следует, что .

Учитывая это, перепишем уравнения в виде:

Решая эти уравнения относительно , имеем:

м/с².

Знак «минус» указывает на то, что мы ошиблись при выборе направления движения системы. Груз движется не вниз, как мы предположили сначала, а вверх. Теперь, зная направление движения системы, мы можем определить направление сил трения.

Запишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в векторной форме для каждого тела отдельно:

1 тело:

2 тело:

Выберем направление осей координат, как указано на рис. 1.13. В скалярной форме относительно выбранных осей координат уравнения движения будут иметь вид: