Урок №83
Комбинированное занятие № 36
Тема: Основные способы преобразования графиков.
Цель:
Учебная:
- разобрать с обучающимися основные способы преобразования графиков, добиться осознанного понимания методики каждого преобразования.
Развивающая:
- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выявления главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательная:
- содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
Методы обучения: словесные методы (рассказ, объяснение); наглядные методы (демонстрация, ТСО); практические методы.
Оборудование: компьютер, проектор.
Формируемые на уроке ПК и ОК
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
Ход занятия.
Организационный момент
Приветствие, проверка присутствия на занятии.
Актуализация имеющихся знаний
Для актуализации знаний обучающиеся приводят определения функции, её области определения, области значений, названия графиков элементарных функций.
Основные способы преобразования графиков.
1. Симметрия относительно осей координат.
Функции у = f (х) и у = –f(x) имеют одну и ту же область определения. Их графики симметричны относительно оси Ох (рис. 1), так как точки (х; f (х)) и (х; –f(x)) симметричны относительно оси Ох.
Рисунок 1
Рисунок 2
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 5
Рисунок 6
Поэтому график функции у = – f(x) получается из графика функции у = f (х) симметричным отражением последнего относительно оси Ох. Построим этим способом графики функций у = – х 2 (рис. 2) и у = – log2 х (рис. 3).
Функции у = f (х) и у = f(–x) имеют области определения, симметричные относительно точки О. Графики этих функций симметричны относительно оси Оу (рис. 4), поэтому график функции у = f(– x) получается из графика функции у = f (х) симметричным отражением последнего относительно оси Оу.
Построим этим способом графики функций у = 2–х (рис. 5) и у = log2(- х) (рис. 6).
2. Сдвиг вдоль осей координат (параллельный перенос).
Функция у = f(x – а), где а ≠ 0, определена для всех х, таких, что (х – а) принадлежит области определения функции у = f (х), график функции у = f(x – а) получается сдвигом вдоль оси Ох на величину | а | графика функции у = f (х) вправо, если а > 0, и влево, если а < 0.
Построим этим способом графики функций у = (х – 2)2 (рис. 7), у = log2 (х + 3) (рис. 8) и у = cos (х + 
) (рис. 9).
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 9
Функции у = f(x) + В, где В ≠ 0, и у = f(x) имеют одну и ту же область определения. График функции у = f(x) + В получается сдвигом графика функции у = f(x) вдоль оси Оу на величину |В | вверх, если В > 0, и вниз, если В < 0.
Построим этим способом графики функций у = х2 – 4 (рис. 10), у = log2 х – 3 (рис. 11) и у = sin х + 2 (рис. 12).
Рисунок 10
Рисунок 11
Рисунок 12
3. Растяжение и сжатие графика вдоль осей координат.
Функции у = f(x) и у = Bf(x), где В > 0, имеют одну и ту же область определения. График функции у = Bf(x) получается растяжением в В раз, если В > 1, и сжатием в 
раз, если 0 < В < 1, вдоль оси Оу графика функции у = f(x).
Если В < 0, то В = – |В|, и построение графика функции у = Bf(х) разбивается на два этапа: 1) построение графика функции у = |В| f(x) по графику функции у = f(x);
2) построение графика функции
y = |В| f(x) по графику функции
у = |В| f(x).
Построим этим способом графики
функций у = –2х2 (рис. 13), у = 2 sin х (рис. 14) и у = – cos х (рис. 15).
Рисунок 14
Рисунок 13
Рисунок 15
Функция у = f(kx), где k > 0, определена для всех х, таких, что число kx принадлежит области определения функции у = f(x). График функции у = f(kx) получается сжа-тием в k раз к оси Оу, если k > 1, и растяжением в 
раз от оси Оу, если 0 < k < 1, графика функции у = f(x).
Построим этим способом графики функций у = sin 2π: (рис. 16), y = cos(
x) (рис. 17) и у = log2(
x) (рис. 18)
Рисунок 16
Рисунок 17
Рисунок 18
4. Построение графика функции у = Af (k (х – а)) + В по графику функции
y = f(x).
График функции у = A f (k (х – а)) + В строится по графику функции у = f (х) последовательным применением рассмотренных выше преобразований графиков. Например, так:
у = f (х) → у = f (kх) → у = A f (kх) → у = A f (k(х – а)) → у = A f (k(х – а)) + В
Покажем применение этого способа на нескольких примерах.
Рисунок 19
| ПРИМЕР 1. Построим график функции у =  .
Наметим этапы построения этого графика:
у =  → у =  → у =  →
→ у = и построим его (рис.19).
|
ПРИМЕР 2. Построим график функции у = sin 
+ 1. Наметим этапы построения этого графика:
у = sin 
→ у = sin 
→ у = sin 
→ у = sin + 1 и построим его (рис.20).
Рисунок 20 в)
5. Симметрия относительно прямой у = х.
Любые точки А (х 0; у0) и В (у0; х0) координатной плоскости симметричны относительно прямой у = х.
Рисунок 21
Рисунок 22
Рисунок 23
График функции x = f(y) симметричен относительно прямой у = х графику функции у = f (х) (рис. 22).
ПРИМЕР 3. В системе координат хОу построим графики функций у = х2 и х = у2.
Сначала построим график функции у = х2, затем отразим его симметрично относительно прямой у = х. Получится график функции х = у2 (рис. 23).
Замечание. Подчеркнем, что у рассмотренных выше функций х = f (у) и х = у2 независимой переменной является у, а зависимой переменной х.
Домашнее задание
Учебник Башмакова (О-1), стр135-139,
Учебник Никольского, 11 класс (Д-3), §1.4 №1.49(а-в)
Итог урока
Обучающиеся отвечают на вопросы, что они сегодня изучили, что было понятно, а что нет.