Лекция 8
Критерий Гурвица.
Недостатки алгебраических критериев:
1. Большой объем вычислительных работ.
2. Сложность выражений при установлении влияния параметров САР на устойчивость (особенно при высоких порядках).
Частотные критерии устойчивости (ЧКУ)
В большинстве случаев ЧКУ используется в качестве графоаналитических критериев, что обеспечивает наглядность инженерных расчетов.
В основе ЧКУ лежит принцип аргумента:
(1)
Вектора будут поворачиваться (приω от -∞ до +∞):
1) Те, что слева (устойчивые) – на угол π против часовой стрелки (на +π)
2) Правые – наπ по часовой (на –π)
Пусть мы имеем k неустойчивость корней и n-k устойчивость.
Определение принципа аргумента
Разность n-k корней уравнения D(S)=0? Находящихся в левой полуплоскости и k корней в правой полуплоскости, умноженная на π, отражает собой изменение аргумента вектора D(jω) при возрастании частоты от -∞ до +∞.
Для устойчивости системы должны потребовать k=0!
Тогда 
Частотный критерий устойчивости Михайлова
(основан на рассмотрении поведения годографа, определяемого характеристическим уравнением замкнутой системы).
содержит ω в четной степени (v–в нечетной)
Вследствие этого, можно рассмотреть изменение ω только от 0 до ∞. Так как вторая ветвь является зеркальным отражением относительно оси абсцисс
Годограф D3(jω) – (характеристическая) кривая Михайлова. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы вектор D3(jω), описываемый своим концом кривую Михайлова, при изменении частоты от 0 до ∞, начав свое движение с положительной действительной оси и вращаясь против часовой стрелки последовательно проходил nквадрантов, нигде не обращался в ноль.
Доп.
Угол φ должен быть монотонно возрастающим
Значит φ-монотонно возрастающая функция
Примеры.
1) 
π против часовой стрелки
2) φ возрастает
3) Δ=5π/2
4) Не обращается в ноль
Второй вариант анализа устойчивости системы с использованием
Системы ЧКУ Михайлова
D3(jω)=u(ω)+j∙v(ω)
Можно судить об устойчивости по расположению корней 
.
Для устойчивости системы вектор D3(jω) в соответствии с критерием Михайлова последовательно проходит n квадрантов. При этом поочередно будут обращаться в ноль то вещественная (U(ω), то мнимая (v(ω)) части D3(jω)). Следовательно, корни уравнений u(ω)=0 и v(ω)=0 должны обладать свойством перемежаемости.
Пример.
S5+S4+7S3+4S2+10S+3=0
Не изображая годограф, по критерию Михайлова сделать вывод об устойчивости.
| u | √3 | ||||
| v | √2 | √5 |
=>система устойчива
| u | √0,01 | √14 | ||||
| v | 1/√3 | √3 |
Критерий Найквиста для статических и астатических систем
Позволяет установить по АФХ разомкнутых систем необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутых систем.
Его еще называют амплитудно-фазовым критерием устойчивости.
Имеем разомкнутую систему
Замкнем систему:
- характеристический полином для замкнутой системы
. Нас всегда интересуют полюсы (корни знаменателя).
У них один порядок (n)
Обозначим корни характеристических уравнений для:
· Замкнутой системы àS’i
· Разомкнутой à Si
K – разом.
K’– замкн.
Найквист предложил:
Рассмотрим D(jω) в виде
Рассмотрим 2 варианта:
1. Разомкнутая система устойчива. K=0 (все корни слева).
Чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо, чтобы приращение аргумента вектора D=-πk’=0=>k’=0
Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкн. необходимо, чтобы АФК разомкнутой системы не охватывало критическую точку (-1;0)
Приращение φ=0
2). Разомкнутая система неудобства. Тогда для устойчивости в замкнутом состояни и необходимо и достаточно, чтобы все корни замкнутой системы были слева => 
Неустойчивая разомкнутая система с k корнями в правой полуплоскости, будет устойчива в замкнутом состоянии, если АФК разомкнутой системы при возрастании ω от 0 до ∞. Охватит критическую точку против часовой стрелки 
раз.
1) K=2
2) K=1
Устойчива (в замкнутом состоянии).
3) K=1
Приращение по часовой стрелке => -π
Неустойчива.
4) K=2
Астатические системы
- степень астатизма
ω=0 W1(∞)à∞
Разрывная функция (при переходе через 0)
Появляется неопределенность при устойчивом приращении аргумента вектора D.
В этом случае АФЧХ вектора W1(jω) уходит в ∞ при подходе к нулевой частоте (с обеих сторон).
Это делает невозможным непосредственное применение критерия Найквиста.
Как поворачивается сам jω-?
Прием:
Полюс обходят справа по окружности бесконечно малого радиуса.
Тогда вместо S=0 à 
Подставим в знаменатель:
Тогда
Видно, что обход полюса в начале координат против часовой стрелки соответствует переходу годографа по часовой стрелке.
Формулировка критерия Найквиста – та же, что и для статических систем. Но необходимо дополнить АФХ системы окружностью бесконечно большого радиуса с тем, чтобы 
при ω от -∞ до +∞ перемещалось по часовой стрелке.
Если ω – от 0 до ∞, то ∆φ= 
для 
=1
= 
для =2
Разомкнутая –устойчива =>замкнутая-устойчивая.
Остальные – как для статической.
