Формула полной вероятности.

Элементы комбинаторики.

Правило суммы.

Пусть выбираются два объекта и . Тогда, если объект можно выбрать способами, а объект можно выбрать способами, то выбор " " можно осуществить способами.

Правило произведения.

Пусть выбираются два объекта и . Тогда, если объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор пары " " в указанном порядке можно осуществить способами.

Размещением элементов из называется выборка расположенных в определенном порядке каких-либо элементов из данных различных элементов, т.е. упорядоченное множество элементов из . Количество размещений обозначается и вычисляется по формуле, содержащей сомножителей:

.

Перестановкой из различных элементов называется расположение этих элементов в строго фиксированном порядке, т.е. упорядоченное множество различных элементов. Количество таких перестановок обозначается и находится по формуле

,

где (по определению ).

Сочетанием элементов из различных называется выборка каких-либо элементов из данных элементов без учета порядка, т.е. неупорядоченное множество элементов из . Количество различных сочетаний обозначается и вычисляется по формуле:

или

Случайные события.

Эксперимент, множество исходов которого состоит более чем из одного элемента, называют случайным или стохастическим. Множество всех возможных исходов эксперимента можно представить в виде:

, где – элементарный исход эксперимента.

Для пространства элементарных исходов событием называется любое его подмножество. Говорят, что событие произошло, если в результате эксперимента имел место исход .

Суммой событий и называется событие, состоящее в выполнении хотя бы одного из этих событий и обозначается или .

Произведением событий и называется событие, состоящее в совместном выполнении этих событий и обозначается или .

Противоположным по отношению к событию называется событие , состоящее в том, что событие не произошло:

, ,

.

Разностью событий и называется событие, состоящее в выполнении , но в невыполнении . Разность событий обозначается или .

Система множеств (, ) называется вероятностным пространством эксперимента с пространством элементарных исходов . Часто вероятностное пространство задают в виде таблицы.

 

			…
			…

Вероятностью события называется сумма вероятностей элементарных исходов, это событие образующих.

Классическая вероятность для вероятностного пространства с равновозможными элементарными исходами :

элементарные исходы называют благоприятными для исходами, количество таких исходов обозначают

или .

Теорема о вероятности суммы событий:

для двух событий

для трех событий

,

для четырёх событий

,

и так далее.

Теорема о вероятности противоположного события: .

Если к комплексу условий, при которых была получена , добавить новое условие , то полученная вероятность события , найденная при условии, что произошло, называется условной вероятностью события и обозначается , или , или .

Теорема о вероятности произведения событий:

.

Если и, соответственно, , то и называются независимыми.

Для независимых событий .

Группа событий называется полной, если .

Формула полной вероятности.

Пусть , , …, – полная группа событий, которую мы назовём гипотезами.

Известны вероятности , , …, (обязательно ) и условные вероятности события при реализации каждой из гипотез: , , …, . Тогда

Формула Байеса.

При тех же условиях , .

Случайные величины.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате эксперимента в зависимости от случая принимает то или иное значение (одно из возможного множества своих значений, какое именно – заранее не известно).

Функцией распределения с.в. называется .

Свойства :

1)

2) ,

3) если , то

4) непрерывна слева, т.е.

5) (одна из основных формул!!!)

6) , т.е. если непрерывна в точке , то .

7) если на , то .

Случайная величина называется дискретной, если множество её значений конечно или счётно.

Рядом распределениядискретной случайной величины называется таблица, где в верхней строке перечислены в порядке возрастания все возможные значения с.в. , а в нижней – вероятности для с.в. принять каждое из этих значений.

			...		...
			...		...

Очевидно, что .

Случайная величина называется непрерывной, если бесконечное несчётное множество её значений заполняют один или несколько интервалов (конечных или бесконечных) на числовой оси. Для непрерывной с.в. функция распределения непрерывна в любой точке и, следовательно, для .

Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется .

Свойства :

1) (кривая плотности не может лежать ниже оси ОХ)

2) (площадь между осью и графиком равна 1).

3)

4) (одна из основных формул!!!)