Расстояние между прямой и плоскостью

Перпендикуляр и наклонная

План лекции

Вопрос 1. Расстояние от точки до плоскости.

Вопрос 2. Перпендикуляр и наклонная

Вопрос 3. Теорема о трех перпендикулярах.

Вопрос 4. Угол между прямой и плоскостью.

Вопрос 1. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости.

Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α. То есть, перпендикуляр – это отрезок.

Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.

Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозначение: ρ(А; α) = АН. Заметим, что АН – наименьшее из расстояний между точкой А и любой точкой плоскости. Действительно, в прямоугольном треугольнике АНМ перпендикуляр (катет АН) короче наклонной (гипотенузы АМ).

Расстояние между параллельными плоскостями

Плоскость α и плоскость β параллельны. На плоскости β выберем произвольную точку А.

Из точки А опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α. Перпендикуляр АА₀ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.

Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того, какую точку мы выбрали.

Например, выберем другую точку В, опустим перпендикуляр ВВ₀. Прямые АА₀ и ВВ₀ перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые АА₀ и ВВ₀ параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки АА₀ и ВВ₀ равны.

Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α.

Длина перпендикуляра АА₀ и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α. Обозначение: АА₀ = ρ (а; α ).

Вопрос 2. Перпендикуляр и наклонная

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB -наклонная.
B - основание наклонной.

AC - перпендикуляр.

C - основание перпендикуляра.

CB - проекция наклонной AB на плоскость α.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

Например, угол CBA - угол между наклонной AB и плоскостью α.

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

Вопрос 3. Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Теорема о трех перпендикулярах — полезный инструмент для решения задач.

Например, с ее помощью можно доказать, что диагональ куба АС₁ перпендикулярна прямой BD:

Вопрос 4. Угол между прямой и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Рассмотрим плоскость α и прямую АН, НМ - перпендикуляр, АМ - проекция прямой. Угол между прямой АН и плоскостью α – это угол между прямой АН и ее проекцией АМ на плоскости, то есть это угол МАН = φ₀. Обозначение: .

Если прямая не перпендикулярна плоскости, то её проекция – тоже прямая. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она проектируется в точку, угол между прямой и плоскостью считается равным 90°.