Урок – лекция
Тема: «Тригонометрическая форма комплексных чисел.
Цель урока: познакомить учащихся с тригонометрической формой комплексного числа; рассмотреть основные действия над комплексными числами.
Задание: изучить материал лекции, ответить на контрольные вопросы:
1. Тригонометрическая форма записи комплексного числа?
2. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме?
3. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме?
4. Возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме?
5. Законспектировать примеры.
Ход урока
I. Изучение нового материала.
1. Тригонометрическая запись комплексных чисел.
Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора 
с координатами (a; b) (рис.1).
Рисунок 1
Определение. Длина вектора 
, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается 
или r.
Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле 
.
Определение. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.
Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк, где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π)).
a = r · cos φ, b = r · sin φ.
Следовательно, комплексное число z = a + bi можно записать в виде:
z = r · cos φ + i r · sin φ или z = r · (cos φ + i sin φ).
Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 1. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i.
a = 1, b = -1.
φ = 
.
1 – i = 
(cos + i sin ).
2. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
1) Умножение.
Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах:
z1 = a1 + b1i = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = a2 + b2i = r2 (cos φ2 + i sin φ2).
На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:
z1· z2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)); r1 · r2>0.
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:
1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1
2º. Ассоциативность: (z1z2) z3 = z1 (z2 z3).
Пример 2. Найти произведение комплексных чисел z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º,
z2 = cos 40º + i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º).
Тогда z1 · z2 = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = 2(0 + i) = 2i.
2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме
z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2), причем z1 ≠ 0, то комплексное число 
= 
[cos (φ2 - φ1) + i sin (φ2 - φ1)] является частным чисел z1 и z2 (то есть z1y = z2).
Пример 3. Найти частное комплексных чисел z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º,
z2 = cos 40º + i sin 40º.
Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:
z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º).
Тогда 
(cos (50º - 40 º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos 10º + i sin 10º).
3) Возведение в степень.
Определение. n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.
Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.
Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле:
z n = (r n) [cos (nφ) + i sin (nφ)].
Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:
(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n Î N.
Пример 4. Вычислите (1 + i)100.
Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.
a = 1, b = 1.
.
cos φ = 
, sin φ = , φ = 
.
(1+i)100 = [ (cos + i sin )]100= ()100 (cos ·100 + i sin ·100) = 250(cos 25π + i sin 25π) = 250(cos π + i sin π) = - 250.