Задачи для самостоятельного решения в аудитории и на дом

Геометрия Толстиков А.В.

Курс 2. Семестр 4. Практическое занятие 1.

Тема. Элементы векторной алгебры

Изучаемые вопросы

Определение сонаправленных и противоположно направленных лучей. Определение направленного отрезка. Определение равенства направленных отрезков. Необходимые и достаточные условия равенства направленных отрезков. Определение сонаправленных и противоположно направленных отрезков. Определение модуля направленного отрезка. Определение геометрического вектора. Определение модуля вектора. Определение нулевого вектора. Определение противоположного вектора. Определение коллинеарных векторов. Определение компланарных векторов. Определение суммы векторов. Свойства операции сложения векторов. Определение произведения вектора на число. Свойства операции умножения вектора на число. Определение разности векторов. Условия коллинеарности двух векторов. Какие векторы образует базис векторов на прямой? Условие компланарности трех векторов. Какие векторы образует базис векторов на плоскости? Какие векторы образует базис векторов в пространстве?

Задачи для самостоятельного решения в аудитории и на дом

1. Даны векторы a, b. Построить векторы

1) a + b; 2) a - b; 3) -3 a; 4) a + (1/2) b; 5) -3 a - 5 b; 6) -2 a + 3 b; 7) (-1/3) a + (1/2) b.

2. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' векторы a, b, с представлены ребрами построить векторы

1) a + b + с; 2) (1/2) a +(1/2) b - с; 3) - a - b + (1/2) с; 4) 2 a - b + 2 с.

3. В тетраэдре ABCD векторы a, b, с представлены соответственно направленными отрезками построить векторы

2) a + b + с; 2) - a - b + с; 3) -2 a - b + 2 с; 4) (1/2) a +(1/2) b - с.

4. В треугольнике ABC медианы AD, BE, CF пересекаются в точке О, М - любая точка пространства. Доказать, что

построить векторы

5. Доказать, что для любых векторов a, b, с данные векторы компланарны

1) a + b, с + b, с - a; 2) a +2 b- c, 3 a-b+c, -a + 5 b- 3 c.

6) Для данных трех векторов a, b, с вычислить значение l, при котором векторы l a + b+ c,a+ l b+c, a + b+ l c компланарны.

7. В тетраэдре ABCD векторы базиса e ₁, e ₂ представлены соответственно направленными отрезками . Найти координаты векторов в данном базисе, если K, M, N - соответственно середины сторон AB. BC, CA.

8. В кубе ABCDA'B'C'D' точка О точка пересечения диагоналей куба, E Î AA', AE = (1/4) AA', векторы базиса e ₁, e _2,, e ₃ представлены соответственно направленными отрезками . Найти координаты векторов в данном базисе.

9. В правильном шестиугольнике ABCDAEF, векторы базиса e ₁, e _2, представлены соответственно направленными отрезками . Найти координаты векторов в данном базисе.

10. Коллинеарны ли векторы: 1) a = (3,-4,5), b = (-9,12,15); 2) a = (0,1;0,5;-2), b = (-2,-10,20).

11. Компланарныли векторы: 1) a = (-1,2,3), b = (4,-5,1), с = (2,-1,5); 2) a = (4,2,3), b = (1,-1,2), с = (4,5,1).

12. Доказать, что векторы a, b образуют базис векторов на плоскости и выразить вектор с через векторы базиса.

1) a = (3,-1), b = (1,5), с = (1,-13); 2) a = (2,3), b = (3,7), с = (0,-5); 3) a = (2/3,4/5), b = (3,1/2), с = (-2,11).

13. Доказать, что векторы a, b,с образуют базис векторов в пространстве и выразить вектор m через векторы базиса.

1) a = (1,2,3), b = (2,3,1), с = (3,1,2), m = (0,4,2); 2) a = (1,-2,-1), b = (2,1,2), с = (1,-1,-1), m = (2,-1,10).

14. В треугольнике ABC со стороной единица . Построить векторы a, b, с и разложить вектор с по векторам a, b, если возможно, геометрически и алгебраически

1) a = (2,1), b = (-1,3), с = (0,7); 2) a = (-1,2), b = (2,2), с = (4-2); 3) a = (2,3), b = (2,1), с = (-2,1).

15. В квадрате ABCD со стороной единица . Построить векторы a, b, с и разложить вектор с по векторам a, b, если возможно, геометрически и алгебраически

1) a = (3,-2), b = (-1,2), с = (2,4); 2) a = (-1,1), b = (2,1), с = (0,3).

16. В кубе ABCDA'B'C'D' со стороной единица . Построить векторы a, b, с и разложить вектор с по векторам a, b, если возможно, геометрически и алгебраически

1) a = (-1,2,1), b = (1,1,-2), с = (0,3,-1); 2) a = (1,0,2), b = (0,2,2), с = (-2,2,-2).

Задание на дом. Решать задачи. Готовиться к проверочной работе. Учить лекцию "Скалярное, векторное, смешенное произвежения.".

"