Контрольная работа
Варианты заданий для математической модели балансовых задач
Модель межотраслевого баланса, модель Леонтьева
,
где X – объем валового выпуска продукции состоит из объёма производственного потребления AX и объема конечного потребления Y. Математическая модель позволяет рассчитать объем конечного потребления Y, если известен объём валового выпуска 
.
Рассчитать
1. Значения матрицы А.
2. Объем сбалансированного выпуска отраслей X.
Варианты исходной информации для заданий
Значение i= N, где N – номер последней цифры в зачетной книжке. Значения валового выпуска X определяются исходя из баланса объема валового выпуска и значений конечного потребления и производственного потребления.
| Номер отрасли | Объём потр. отр. 1 | Объём потр. отр. 2 | Объём потр. отр. 3 | Объём кон. потр. отрасли Y | Объём вал. вып. отрасли X |
| Отрасль №1 | 5 + i | 35 + i - 1 | 20 + i | 40 + i + 5 | |
| Отрасль №2 | 10 + i | 10 + i | 20 + i - 3 | 60 + i + 8 | |
| Отрасль №3 | 20 + i - 2 | 10 + i + 4 | 10 + i + 6 | 10 + i + 7 |
Варианты заданий для математической модели задачи линейной торговли
Найти бюджет каждого участника, если задана структурная матрица торговли и общий бюджет:
0)
, 
у.е.;
1)
, 
у.е.;
2)
, 
у.е.;
3)
, 
у.е.;
4)
, 
у.е.;
5)
, 
у.е.;
6)
, 
у.е.;
7)
, 
у.е.;
8)
, 
у.е.;
9)
, 
у.е.
Варианты исходной информации для заданий
Значение i= N, где N – номер последней цифры в зачетной книжке.
Варианты заданий для математической модели оптимизационных задач
Математическая модель оптимизационных задач состоит из системы ограничений исследуемого процесса и целевой функции этого процесса, отражающей критерий оптимальности задачи:
, 
(4)
(5)
(6)
Найти оптимальное решение:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Выбор варианта
Номер варианта равен последней цифре в зачетной книжке.
Если цифры 9 или 0, то брать задания 1) или 2) соответственно.
Варианты заданий для математической модели распределительных задач
Найти оптимальное решение распределительной задачи на минимум затрат Zmin
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Варианты заданий для математической модели статистических задач
Пусть в среднем у есть линейная функция от х, т. е. имеет место уравнение регрессии
где 
— условное математическое ожидание случайной величины у при заданном х. Объясняющая переменная х рассматривается как неслучайная величина;
и 
— неизвестные параметры генеральной совокупности, которые подлежат оценке по результатам выборочных наблюдений
Рассчитать оценки и
Выбор варианта
Номер варианта равен последней цифре в зачетной книжке.
Перечень типовых контрольных вопросов
1. Объяснить модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева) 
.
2. Как рассчитать объем конечного потребления Y, если известен объём валового выпуска X?
3. Как найти бюджет каждого участника, если задана структурная матрица торговли и общий бюджет в математической модели задачи линейной торговли?
4. Из чего состоит Математическая модель оптимизационных задач?
5. Что отражает система ограничений?
6. Как задается критерий оптимальности задачи линейного программирования?
7. Как найти оптимальное решение распределительной задачи на минимум затрат Zmin?
8. Что отражает линейная функция (уравнение регрессии) 
?
Контрольное задание для Компьютерного практикума
На основе данных провести многофакторный регрессионный анализ зависимости стоимости промышленно-производственных основных фондов предприятия строительного комплекса от валовой продукции в оптовых ценах, среднесписочной численности промышленно - производственного персонала и среднесписочной численностью рабочих
Разбор типовой задачи
На основе линейной регрессионной модели исследовать зависимость фондоотдачи в процентах на единицу основных производственных фондов (ОПФ) (у) от среднечасовой производительности вращающихся печей (
) и удельного веса активной части ОПФ (
).
В таблице 1 приводятся данные п = 15 цементных заводов страны.
Таблица 1
Исходные данные
| № п/п | Фондоотдача, y | Среднечасовая производительность печей,
| Удельный вес активной части ОПФ (%), 
|
Решение
Для определения оценок 
согласно
найдем предварительную симметричную матрицу 
, которая имеет вид
и равна для нашего примера
вектор имеет вид
и для нашего примера равен
Для получения обратной матрицы 
можно воспользоваться методом полного исключения переменных Жордана—Гаусса.
Таким образом, получена обратная матрица:
Подставив найденный вектор 
и матрицу в выражение
найдем вектор оценок:
Таким образом, 
И оценка уравнения регрессии имеет вид
.
Для проверки значимости уравнения регрессии согласно выражению
нужно найти 
и 
.
Составим вспомогательную таблицу 2
Таблица 2
Вспомогательная таблица
|  
| 
| 
| 
| 
|
| 6,779 073 | 0,606 954 7 | ||||
| 29, 532 124 | 12,026 163 | ||||
| 27, 615 725 | 13,073 467 | ||||
| 40, 643 112 | 135,562 05 | ||||
| 51, 290 247 | 86,308 689 | ||||
| 35,350 038 | 128,823 36 | ||||
| 56,225 982 | 17,858 923 | ||||
| 50,613 366 | 29,015 825 | ||||
| 41,160 222 | 229,832 33 | ||||
| 48,795 751 | 14,407 725 | ||||
| 29,212 582 | 4,895 519 1 | ||||
| 52,385 454 | 2,606 758 7 | ||||
| 30,619 601 | 11,427 097 | ||||
| 49,001 049 | 1,002 099 1 | ||||
| 49,719 581 | 2,956 958 8 | ||||
| Итого | 690,403 85 |
Откуда следует, что 
.
; 
Проверим на уровне значимости 
значимость уравнения регрессии.
H 0: 
.
.
По таблице F -распределения для и чисел степеней свободы 
и 
найдем критическое значение 
. Так как 
гипотеза H 0: 
отвергается, т. е. хотя бы один элемент вектора 
не равен нулю.
Перед проверкой значимости отдельных коэффициентов регрессии найдем оценку ковариационной матрицы вектора b. Для этого достаточно элементы обратной матрицы 
умножить на 
. Тогда будем иметь:
.
Из статистического смысла ковариационной матрицы следует, что оценки дисперсии коэффициентов уравнения регрессии 
соответственно равны:
, 
,
Проверим значимость коэффициента 
, т. е. гипотезу H 0: .
.
По таблице t-распределения для значений и 
.
Так как 
, гипотеза о том, что 
, не отвергается, т. е. незначим.
Проверим теперь гипотезу H 0: 
.
Так как 
, гипотеза H 0: 
отвергается, т. е. 
не равен нулю (
).
Перейдем к алгоритму пошагового регрессионного анализа и исключим из рассмотрения переменную , имеющую незначимый коэффициент , уравнения регрессии. Уравнение регрессии будем искать в виде 
. Исходные данные для оценки 
и , представлены в табл. 3.
Таблица 3
Исходные данные
|
|
|
| 
| 
|
| 25,467 91 | 0,283 119 7 | |||
| 26,884 0 | 37,405 456 | |||
| 19,803 55 | 17,610 192 | |||
| 38,212 72 | 84,874 209 | |||
| 45,293 17 | 10,844 968 | |||
| 29,716 18 | 32,674 713 | |||
| 46,709 26 | 27,991 929 | |||
| 46,709 26 | 86.317 849 | |||
| 41,044 9 | 226,349 01 | |||
| 45,293 17 | 0,085 948 6 | |||
| 35,380 54 | 70,233 45 | |||
| 41,044 9 | 167,834 61 | |||
| 31,132 27 | 8,223 875 8 | |||
| 43,125 35 | 0,157 126 | |||
| 42,460 99 | 6,446 571 7 | |||
| Итого | 777,191 56 |
Тогда матрица 
будет иметь вид:
и 
.
Обратную матрицу вычислим по формуле
,
где 
– алгебраическое дополнение к элементу 
матрицы 
.
Найдем определитель матрицы 
,
обратную матрицу
,
и вектор 
.
Тогда вектор оценок равен:
,
а оценка уравнения регрессии имеет вид: 
.
Из таблицы 3.3 найдем несмещенную оценку остаточной дисперсии:
,
где 
, 
.
Оценка ковариационной матрицы вектора b равна:
.
отсюда 
.
Для проверки значимости коэффициента β2, т.е. гипотезы H 0: β2=0, найдем:
.
Определим критическое значение для ; 
по таблице 
. Так как 
, нулевая гипотеза отвергается (
). Таким образом, окончательно оценка регрессии со значимыми коэффициентами имеет вид
.
Коэффициент регрессии при 
показывает, что при росте удельного веса активной части на единицу ОПФ (%) фондоотдача в среднем увеличивается на 1,416 09 единиц.
Найдем теперь с доверительной вероятностью 
интервальную оценку для коэффициента регрессии .
,
где 
находим по таблице t-распределения при 
и 
. Отсюда
;
Доверительную границу для условного математического ожидания у найдем в точке, определяемой вектором начальных условий: 
с надежностью 
.
Предварительно найдем матричное произведение
Интервальная оценка для 
равна:
.
Отсюда
и окончательно
.
Таким образом, с доверительной вероятностью мы можем гарантировать, что при значении 
удельный вес активной части ОПФ завода будет находиться в интервале от 36,403 до 45,686%.
Выбор варианта и исходные данные
Исходные данные для выполнения работы берутся из табл. 4 по следующему правилу
1.Фиксируются 2 параметра:
i - предпоследняя цифра номера зачетной книжки
j - последняя цифра номера зачетной книжки
2.Вычисляется k=abs(i-j)
3. Из таблицы берутся строки с номерами от k+1 до k+20
Таблица 4
Варианты заданий
| Номер предпри- ятия | Стоимость промышленно- производственных основных фондов, тыс. руб. | Валовая продукция в оптовых ценах предприятия, тыс. руб. | Среднесписочная численность промышленно– производственного персонала, чел. | Среднесписочная численность рабочих, чел. |