Понятие комплексного числа.
Рассмотрим уравнение х2-4=0. Оно имеет действительные корни х=±2.
Какие корни имеет уравнение вида х2+4=0?
Очевидно, что действительных корней данное уравнение не имеет.
Однако, корни все-таки есть, и они представлены в виде комплексных чисел.
Определение 1:комплексными числами называют выражения вида z=a+bi, где α и b действительные числа, а i2=-1 (мнимая единица).
Причем, число a называют действительной частью комплексного числа (обозначается a = Re z), а число b - мнимой частью комплексного числа (обозначается b = Im z).
Образец.
Определите действительную и мнимую части следующих чисел:
а) z=6+5i; b) z=-3+0,2i; c) z= 
i.
Решение: а) Re z=6, Im z=5; b) Re z=-3, Im z=0,2; с) Re z=0, Im z= 
.
Определение 2: сопряженным с z= a +bi называется комплексное число 
, которое обозначается 
.
Образец. Например: 
, 
, 
.
Действия с комплексными числами.
1.2.1. Сложение комплексных чисел.
Определение 3: суммой двух комплексных чисел α+bi и c+di называется комплексное число (α+c)+(b+d)i.
Образец. Найти сумму 
, если 
, 
.
Решение: 
.
Вычитание комплексных чисел.
Определение 4: разностью двух комплексных чисел α+bi и c+di называется комплексное число (α-c)+(b-d)i.
Образец. Вычислите 
,
Решение: 
Умножение комплексных чисел.
Определение5: произведением двух комплексных чисел α+bi и c+di называется комплексное число (αc-bd)+(ad+bc)i.
Образец.
Выполните действия: z1·z2, если 
и 
.
Решение:
Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть
Деление комплексных чисел.
Определение 6: частное комплексных чисел 
и 
находится
путем домножения числителя и знаменателя на сопряженное
число к знаменателю: 
Образец.
Найти частное комплексных чисел:
2) 
3) 
Решение:
1) 
Умножение комплексных чисел выполняем как умножение многочленов.
i² заменяем на -1.
2) 
3) 
Модуль комплексного числа.
Определение 7: Модулем комплексного числа z=α+bi называется число
и обозначается 
, т.е. 
= |α+bi|= 
.
Образец.
Найдем модуль комплексных чисел:
а) |2|=2; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
;
е) 
.
№1 Задание на осознание. Заполните таблицу.
| Даны комплексные числа | Действительная часть числа равна | Мнимая часть числа равна | Баллы за верные ответы |
| 1. z=4-i | |||
| 2. z=109 | |||
3. z=-  +  i
| |||
| 4. z=i | |||
| 5. z=0 | |||
| Сумма баллов равна |
№2 Задание на понимание.
Записать комплексное число, сопряженное с данным числом:
| № задания | Ответ | Балл | № задания | Ответ | Балл |
| а) 1+i | г) -7-5i | ||||
| б) 2+3i | д) 
| ||||
| в) -3+4i | е) 
| ||||
| Сумма баллов равна: |
№3 Задание на применение. Выполни действия над комплексными числами
z 1= 2 + 3 i, z 2= 5 – 7 i, z 3= 
, z 4= 
.Найти:
а) z 1+ z 2= __________________________________________________________;
б) z 1- z 2=__________________________________________________________;
в) z 1 z 2=____________________________________________________________;
г) 
= ___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________;
д) z 3+ z 4= ___________________________________________________________
е) z 3– z 4=__________________________________________________________;
ж) z 3 z 4=____________________________________________________________
з) 
= ___________________________________________________________
___________________________________________________________
___________________________________________________________.
Результаты занесите в таблицу:
| № задания | Балл за верный ответ | № задания | Балл за верный ответ |
| а) | д) | ||
| б) | е) | ||
| в) | ж) | ||
| г) | з) | ||
| Сумма баллов равна: |
№4 Задание на анализ.
а) Найти действительные числа x и y из равенства: (x+3iy)+(2y-3ix)=1+2i
__________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Ответ: _______________________________________________________________
б) Вычислите: (5 +3 i)3=___________________________________________
____________________________________________________________________
Ответ: _______________________________________________________________
Результаты занесите в таблицу:
| № задания | Балл за верный ответ |
| а) | |
| б) | |
| Сумма баллов равна: |
№5 Задание на применение. Найдите модуль комплексных чисел:
а) |3-4i|=______________________________________;
б) |-8-6i|=_____________________________________;
в) |1-i|=_______________________________________;
г) |-3i|=_______________________________________;
д) 
=______________________________________;
е) 
=_____________________________________________________.
Результаты занеси в таблицу:
| № задания | Балл | № задания | Балл | № задания | Балл |
| а) | в) | д) | |||
| б) | г) | е) | |||
| Сумма баллов равна: |
Приложение 1.
В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл.
| Даны комплексные числа | Действительная часть числа равна | Мнимая часть числа равна |
| 1. z=4-i | -1 | |
| 2. z=109 | ||
3. z=-  +  i
| - 
| 
|
| 4. z=i | ||
| 5. z=0 |
Приложение 2.
В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл. Сверьте свои ответы с ниже предложенными и занесите число баллов в каждую строку таблицы2, строка «Балл за верный ответ ».
а) 
=1-i, б) 
= 2-3i, в) 
=-3-4i, г) 
=-7+5i, д) 
, е) 
.
Приложение 3.
В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл.
| № примера | Ответ | № примера | Ответ |
| а) | 7 – 4 i | д) | |
| б) | – 3 + 10 i | е) | 
|
| в) | 31 + i | ж) | 
|
| г) | 
| з) | -1 |
Приложение 4.
В данном задании каждый верный ответ оценивается в 2 балла.
| № примера | Ответ |
| а) |  
|
| б) | -10+198i |
Приложение 5.
В данном задании каждый верный ответ оценивается в 1 балл.
| № примера | Ответ | № примера | Ответ |
| а) | г) | ||
| б) | д) | ||
| в) | 
| е) | 
|