Формула для вычисления объема тела вращения

Лекция 2-8

Интегралы

Интегралы. Вычисление площади под графиком

Определение первообразной

Определение. Первообразной для непрерывной на интервале функции на этом интервале называется функция , для которой .

Аналогично определяется первообразная для функции на отрезке . Под производной в точке a надо понимать правую производную, а в точке b – левую.

Для каждой существует не одна, а целый класс первообразных: если функция является первообразной для на интервале , то всевозможные функции вида , где С – любое число, также являются ее первообразными на этом интервале.

Определение. Неопределенным интегралом от непрерывной на интервале функции называют любую ее первообразную.

Обозначение: , где – подинтегральная функция, а – подинтегральное выражение.

показывает, по какой переменной берется интеграл / было произведено дифференцирование.

Пример 1

Первообразные элементарных функций

Правила вычисления неопределенных интегралов

Пример 2

Найти

Замена переменной

Если непрерывна, то можно сделать замену , где непрерывна вместе со своей производной :

Пример 3.

Пример 4.

Интегрирование по частям

Если и - некоторые дифференцируемые функции, то

Пример 5.

Пусть , . Тогда:

Алгебраические преобразования

Пример 6. Разложение на простейшие дроби

Определение. Простейшими дробями называются дроби вида , , где ,

Площадь криволинейной трапеции

Определения. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная кривой – графиком функции , осью Ох и прямыми x=a, x=b.

Для решения задачи нахождения площади такой фигуры необходимо разбить отрезок точками

Площадью криволинейной трапеции называется предел , где ,

Сумму называют интегральной суммой.

Определенный интеграл

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы, когда длина максимального отрезка разбиения стремится к нулю.

Обозначение:

Геометрический смысл определенного интеграла: он равен ориентированной площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью Ох и прямыми x=a, x=b.

Ориентированная площадь в отличие от обычной имеет знак: для фигур выше Ох она положительна, для фигур ниже нее – отрицательна.

! Если в задаче сказано найти площадь, то имеется в виду площадь в обычном понимании, т.е. неотрицательная величина.

Пример 7. Вычислить

Пример 8. Вычислить площадь закрашенной фигуры

Свойства определенного интеграла

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и пусть - какая-либо ее первообразная. Тогда справедливо равенство:

Пример 9. Вычислить . Вычислить площадь закрашенной фигуры. Объяснить полученные результаты

Пример 10. Вывести формулу площади единичного круга

Формула для вычисления объема тела вращения

Если кривая – график непрерывной неотрицательной функции на отрезке – вращается вокруг оси Ох, то тело, ограниченное поверхностью вращения и плоскостями x=a, x=b, имеет объем