Биномиальное распределение

Задачи

1. Двумерная случайная величина (X, Y ) задана законом распреде­ления:

 

Y X
	0,02	0,12	0,06
	0,03	0,18	0,09
	0,05	0,30	0,15

Найдите законы распределения составляющих X и Y. Найдите ус­ловный закон распределения величины Y при X = 0.

2. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан таблицей

Y X	-1
	0,15	0,3	0,35
	0,05	0,05	0,1.

 

Найдите законы распределения составляющих X и Y. Вычислите ве­роятности Р(Х = 2,

Y = 0), Р(Х > Y). Установите, зависимы или нет составляющие X и Y.

3. Задана функция двумерной случайной величины (X, Y )

F () = ( (х у 0).

Найдите вероятность того, что в результате испытания составляю­щие Х и Y примут значения соответственно X < 1, Y < 3.

4. Двумерная случайная величина (X, Y ) имеет плотность распределения вероятностей

Требуется: 1) определить величину с; 2) найти функцию распреде­ления F(x, у); 3) вычислить вероятность того, что X и Y примут соответственно X и Y примут соответственно значения: X < 4, Y < 5.

5. Найдите плотность совместного распределения р(х,у) системы случайных величин

(X, Y) по известной функции распределения

F(x, у) = sin х ·sin у (0 х /2, 0 у /2).

6. Найдите вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямо­угольник с вершинами

А(), B (), С (), D (), если известна функция распределения

F(x, у) = sin х · sin у (0 х 2, 0 у /2).

Ответы

3. 0,601. 4. с = 20; F(x, y) = p = 9/16

5. 6. 0,08.

Вопросы

1. Что такое двумерная случайная величина?

2. Какие другие названия используют для двумерной случайной величины?

3. Что такое закон распределения дискретной двумерной случайной величины?

4. В каком виде можно записать закон распределения дискретной двумерной случайной величины?

5. Что дает таблица совместного распределения двух дискретных случайных величин?

6. Как, зная закон распределения дискретной двумерной случайной величины, найти законы распределения составляющих?

7. Каким образом по таблице совместного распределения двух дискретных случайных величин можно вычислить математическое ожидание и дисперсию каждой из этих величин?

8. Что называют условным законом распределения дискретной случайной величины X при Y =

9. Как условный закон распределения связан с безусловным законом распределения?

10. Как определяется функция распределения двумерной случайной величины?

11. Каковы свойства функции распределения двумерной случайной величины?

12. Как определяется плотность распределения двумерной случайной величины?

13. Как выражается функция распределения двумерной случайной величины через ее плотность распределения?

14. По каким формулам можно вычислить вероятность попадания значений двумерной случайной величины в заданный прямоугольник?

15. По какой формуле можно вычислить вероятность попадания значений двумерной случайной величины в заданную область?

16. Как определяется независимость двух случайных величин?

17. Как выражается необходимое и достаточное условие независимости двух случайных величин?

18. Что можно сказать о взаимной связи случайных величин X и Y,

зная их числовые характеристики М(Х), M(Y), D{X), D(Y)?

19. Что такое ковариация двух случайных величин?

20. Что называют коэффициентом корреляции?

21. Каковы свойства коэффициента корреляции?

22. Какая связь существует между равенством нулю коэффициента корреляции и независимостью случайных величин?

 

Глава 3.

Некоторые законы распределения случайных величин

Формула Бернyлли

Производятся испытания, в каждом из которых может появиться событие А или событие . Если вероятность события А в одном испытании не зависит от появления его в любом другом, то испытания называются независимыми относительно события А. Будем считать, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события А в каждом испытании одна и та же. Обозначим эту вероятность через р, а вероятность появления события через q (q = 1 – р).

Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А появится ровно к раз (и не появится n – k раз), обозначим через тогда

(3.1.1)

где

, . (3.1.2)

Формула (3.1.1) называется формулой Бернулли.

Правая часть формулы (3.1.1) представляет собой общий член раз­ложения бинома Ньютона:

(3.1.3)

Поскольку р + q= 1, то из формулы (3.1.3) следует, что сумма всех биномиальных вероятностей равна единице:

 

. (3.1.4)

Число к₀, которому при заданном п соответствует максимальная би­номиальная вероятность Р„(к₀), называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных пир это число определяется нера­венствами

np - q < k <пр + р. (3.1.5)

Если число пр + р не является целым, то k₀ равно целой части этого числа {k = ); если же пр + р — целое число, то k₀ имеет два зна­чения = np-q, = пр + p.

Вероятность того, что в п опытах схемы Бернулли событие А поя­вится от k до k₂ раз (0 k₂ п) обозначим через , тогда

P_n( k k₂) = P (k) = (3.1.6)

Вероятность Р (1 k п) того, что в п опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой

Р (1 k п)=1-q (3.1.7)

Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит: а) менее к раз; б) более к раз; в) не менее к раз; г) не более к раз, находят соответ­ственно по формулам:

Р(А) = Р (0)+ Р (1)+...+ Р (к - 1); (3.1.8)

Р(А) = Р (к + 1) + Р (к +2) +... + Р (п); (3.1.9)

(3.1.10)

(3.1.11)

Производится n независимых опытов, каждый из которых имеет: m (m 2) попарно несовместных и единственно возможных исходом с вероятностями одинаковыми во всех опытах (). Для произвольных целых неотрицательных чисел ) обозначим через вероятность того, что в n опытах исход ,

наступит раз, исход раз,..., исход раз, тогда

. (3.1.12)

 

Формула (3.1.12) определяет полиномиальное распределение вероятностей. Биномиальное распределение (3.1.1) является частным случаем полиномиального распределения при

Пример 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение. Поскольку р = 0,7, то q = 1 – р = 1 – 0,7 = 0,3. По условию n = 5, k = 2, по формуле (3.1.1) находим

Пример 2. Подбрасывается 5 симметричных монет. Найти вероятность того, что: выпало ровно 2 герба; выпало более одного герба.

Решение. Обозначим через X число гербов, выпавших при этих подбрасываниях. В данном случае p = 1/2 и q = ½.

Случайная величина X может принимать следующие значения x = 0, х = 1, х = 2, х = 3,

х = 4, х = 5. Поскольку Р(х > 1) = 1 – Р(х 1) = то

 

Пример 3. Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.

Решение. Искомые вероятности находим с помощью формулы Бернулли

В первом случае п = 4, к = 3, р = 0,9, q= 1 -р= 0,1, поэтому

4 · 0,729 · 0,1 = 0,2916.

Во втором случае событие А состоит в том, что из четырех семян взойдут или три, или четыре. По теореме сложения вероятностей . Поскольку , то

Р{А) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.

Пример 4. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.

Решение. Пользуемся неравенствами (3.1.5) и пояснением к ним. Поскольку пр + р =

5 · 0,8 + 0,8 = 4,8 - не целое число, то = [4,8] = 4. Вероятность Р₅ (4) находим по формуле Бернулли:

Р₅ (4) = • 0,2 = 0,4096.

Пример 5. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии со­ставляет 30 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 75 изделий.

Решение. По условию п = 75, р = 0,3, поэтому q = 1- р = 0,7. Со­ставляем двойное неравенство (3.1.5):

75 • 0,3 - 0,7 75 · 0,3 + 0,3; 21,8 22,8.

отсюда следует, что = 22 ( = [22,8]).

Пример 6. Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки в станках не­зависимы, найти вероятность того, что в течение часа внимания рабоче­го потребует какой-либо станок из четырех, обслуживаемых им. Решение. Вероятность данного события найдем по формуле (3.1.1) при п = 4, к = 1, р = 0,6 и q = 1 — р = 0,4:

= 4 · 0,6 · 0,64 = 0,1536.

Пример 7. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а имеется их десять. Вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

Решение. Автобаза будет работать нормально (событие D). если на линию выйдут или восемь (событие А), или девять (событие В), пли все десять (событие С) автомашин. По теореме сложения вероятностей

P(D)= Р(А) + Р(В)+ Р(С) = .

Каждое слагаемое найдем по формуле Бернулли.

Поскольку вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1, то вероятность выхода автомашины на линию будет раина 0,9, т.е. р = 0,9, q = 0,1. Из условия следует, что п = 10, к = 8, 9, 10. Следова­тельно,

0,1937 + 0,3874 + 0,3487 = 0,9298.

Пример 8. Всхожесть семян составляет в среднем 80 %. Найти наивероятнейшее число всхожих среди девяти семян.

Решение. Число определим с помощью неравенств (3.1.5). По­скольку n = 9, р = 0,8, и q = 0,2, то 9 · 0,8 - 0,2 9 ·0,8 + 0,8 = 8. Получено целое число; значит существует два наивероятнейших числа всхожих семян: 8 и 7. Вероятности их наибольшие и равны между со­бой.

Действительно,

= 36 · 0,2097 · 0,04 ≈ 0,302,

= 9 ∙ 0,1678 ∙ 0,2 ≈ 0,302.

Пример 9. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

Решение. По формуле (3.1.6) при п = 10, на­ходим

 

Согласно формуле (3.1.7) получим

Пример 10. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадений двойки было равно 32?

Решение. В данном случае =32, Неравенства np - q np + p принимают вид

Или

 

Из первого неравенства следует, что а из второго, что . Таким образом, необходимо провести от 191 до 197 независи­мых испытаний.

 

Пример 11. Какова вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступлений события А в120 испытаниях равно 32?

Решение. По условию п = 120, = 32. Неравенства (3.1.5) прини­мают вид

,

или

Решая эту систему неравенств, находим, что

.

Пример 12. Какое минимальное число опытов достаточно пронес­ти, чтобы с вероятностью, не меньшей, чем α(0 < α < 1), можно было бы ожидать наступление события А хотя бы один раз, если вероятность события А в одном опыте равна p?.

Решение. Потребуем, чтобы вероятность наступления события А хотя бы один раз в п опытах (см. формулу (3.I.7)) была не меньше, чем α:

или

Решив это неравенство относительно п,получим неравенство

Отсюда заключаем, что минимальное число опытов , удовлетворяющее условию примера, определяется формулой

,

Где квадратными скобками обозначена целая часть числа.

В частности, если p = 0,02 и α = 0,98, то по последней формуле получаем

Пример 13. Мишень состоит из 3 попарно непересекающихся зон. При одном выстреле но мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка равна 0,5. Для второй и третьей зон эта вероятность равна соответственно 0,3 и 0,2. Стрелок производит 6 выстрелов по мишени. Найти вероятность того, что при этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую и 1 попадание в третью зону.

Решение. Чтобы найти искомую вероятность, воспользуемся формулой (3.1.12).

Так как в данном случае n = 6, , то

Пример 14. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90 % случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправятся не менее 4?

Решение. Будем пользоваться формулой (3.1.10), которая в данном случае принимает вид , где А означает событие: "из 5 больных выздоровеет не менее 4". Поскольку

,

,

То

Пример 15. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Решение. Поскольку играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша? p = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. равна. Во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, поэтому применима формула Бернулли.

Пользуясь формулами (3.1.1) и (3.1.10), находим указанные вероятности:

 

 

 

Так как и , то вероятнее выиграть одну партию из двух.

Поскольку и то вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех.

Замечание. Вероятность выиграть не менее двух партий из четырех можно вычислить и другим способом:

Поскольку то

Пример 16. Проверка качества выпускаемых деталей показала, что в среднем брак составляет 7,5 %. Найти наиболее вероятное число стандартных деталей в партии из 39 штук, отобранных наудачу.

Решение. Извлечение стандартной детали (событие А) и извлечение нестандартной детали (событие ) - противоположные события. Из условия следует, что q = 0,075, поэтому р = 1 - 0,075 = 0,925. Поскольку в данном случае n = 39, то формула (3.1.5) для определения наивероятнейшего числа появления события А принимает вид

откуда Наивероятнейшёе число стандартных деталей равно 36 или 37.

Пример 17. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16?

Решение. Обращаемся к формуле (3.1.5). В данном случае р = 0,7, ; число n неизвестно, его потребуется найти. Формула (3.1.5) принимает вид

Из этих неравенств следует, что

Итак, = 22 и = 23, т.е. число всех выстрелов здесь может быть 22 или 23.

Пример 18. Найти вероятность того, что при 10 подбрасываниях монеты герб выпадет 5 раз.

Решение. Воспользуемся формулой (3.1.1). В данном случае 10,

В соответствии с формулой (3.1.1) получаем

 

Пример 19. Монетку подбрасывают 5 раз. Случайная величина X – число выпадений цифры. Возможные значения величины X: = 0, = 1, =2, =3, =4, =5. Записать закон распределения слу­чайной величины X.

Решение. Вероятности укатанных значений найдем с помощью формулы Бернулли, приняв во внимание то, что в данном слу­чае р = 1/2, q = 1/2.

Следовательно, закон распределения случайной величины X можно записать в виде таблицы

 

X
P	1/32	5/32	10/32	10/32	5/32	1/32

 

Пример 20. Увеличится или уменьшится вероятность , определяемая формулой Бернулли, если к общему числу испытаний добавить еще два испытания, а вероятность р появления события А в одном испытании останется неизменной?

Решение. Поскольку

то

 

Найдем отношение к

Так как

То при

при

при

 

Задачи

1. Монета подбрасывается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет ровно 3 раза?

2. Найдите вероятность того что среди взятых наугад пяти деталей две стандартные, если вероятность детали быть стандартной равна 0,9.

3. Определите наиболее вероятное число выпадений герба при 25 подбрасываниях монеты.

4. Чему равно наивероятнейшее число нестандартных среди 500 деталей, если вероятность для каждой из них быть нестандартной равна 0,035?

5. Вероятность того, что покупателю необходима мужская обувь 41-го размера, равна 0,25. Найдите вероятность того, что из шести покупателей по крайней мере двум необходима обувь 41-го размера.

6. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 80 % случаев. Какова вероятность того, что из 5 больных поправятся 4?

7. Производится 6 независимых испытаний. При каждом испытании событие А появляется с одной и той же вероятностью р = 2/3. Найдите вероятности для каждого к = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Полученные результаты запишите в виде таблицы.

8. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 40 %. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 120 изделий?

9. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле p = 0,7. Найдите вероятность наивероятнейшего числа попаданий, если произведено 9 выстрелов.

10. Вероятность рождения мальчиков равна 0,515. Найдите наивероятнейшее число девочек из 600 новорожденных.

Ответы

1. 15/128. 2. . 3. 12, 13. 4. 5. 0,466. 6. 0,74. 8. 9. 0,267. 10.

Вопросы

1. Какими должны быть испытания, чтобы можно было применять формулу Бернулли?

2. Какой вид имеет формула Бернулли?

3. Как запишется закон распределения дискретной случайной величины х-количесгва появившихся гербов на двух новеньких монетах, случайно оброненных на пол?

4. Какими свойствами коэффициентов бинома Ньютона можно воспользоваться для доказательства следующего утверждения: при нескольких подбрасываниях монеты вероятность выпадения герба четное число раз равно вероятности выпадения герба нечетное число раз?

5. Что называют наивероятнейшим числом появления события в n независимых испытаниях? Как находится это число?

6. Какой вид имеет формула, определяющая вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится от до раз

7. Как найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А появится хотя бы один раз?

8. Как вычислить вероятность того, что в n независимых испытаниях сoбытие А наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз?

 

Биномиальное распределение

Предположим, что в одинаковых условиях производится n независимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться событие А с вероятностью р или противоположное событие с вероятностью q (q = 1- p). В каждой серии из n испытаний событие А может либо не появиться, либо появиться 1 раз, 2 раза,..., n раз. Введем в рассмотрение дискретную случайную величину X - "число появлений события А при n испытаниях". Найдем закон распределения этой случайной величины. Величина X может принимать следующие значения: …,

Вероятность того, что случайная величина X принимает значение , вычисляется но формуле Бернулли

(k = 0, 1, 2, …,n) (3.2.1)

где

, или .

Закон распределения дискретной случайной величины, определяемый формулой Бернулли, называется биномиальным. Постоянные n и p входящие в формулу (3.2.1), называются параметрами биномиального распределения (q = 1 - р).

Название биномиальное распределение объясняется тем, что правую часть равенства (3.2.1) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона :

(3.2.2)

Поскольку р + q = 1,

(3.2.3)

т.е.

(3.2.4)

Первый член в правой части разложения (3.2.3.) означает вероятность того, что в n испытаниях событие А не появится ни разу, второй член - вероятность того, что событие А появится один раз, третий член - вероятность того, что событие A появится два раза, наконец, последний член - вероятность тою, что событие А появится n раз.

Биномиальный закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде следующей таблицы

 

 

X			…	k	…	n
P			…		…

 

Пример 1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей биномиальное распределение.

Решение. Случайную величину Х - "число появления события А в n независимых испытаниях" можно представить в виде суммы , где - число появления coбытия А в k -м испытании(k = 1, 2, …, n). В соответствии с формулой (2.4.13) имеем

Случайная величина - число появлений события A в одном испытании - может принимать только два значения: (событие A наступило) с вероятностью p и (событие A не наступило) с вероятностью q (q =1 - р). Следовательно,

(

Следовательно

М(Х) = пр. (3.2.5)

Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами п и р, равно произведению параметров.

Пример 2. Найти дисперсию дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону.

Решение. Случайную величину Х - "число появления события А при п испытаниях" можно представить как сумму , где - "число появления события А при k -м испытании (k = 1, 2, …, n) . В соответствии с формулой (2.5.9) имеем

С помощью формулы (2.5.10) вычислим для k = 1, 2, …, n.

Случайная величина принимает лишь два значения: с вероятностью р и с вероятностью q =1 - р. Случайная величина также принимает только два значения: с вероятностью р и с вероятностью q. Принимая во внимание равенства (см. пример 1), по формуле (2.5.10), получаем

(

Следовательно,

(3.2.6)

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону с параметром п и р равна произведению npq.

Пример 3. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной по биномиальному закону.

Решение. Принимая во внимание определение среднего квадратического отклонения (см. формулу (2.5.16)) и формулу (3.2.6) (см. пример 2), получаем

G{X) = . (3.2.7)

Пример 4. Вероятность попадания и цель составляет при oтдельном выстреле р=0,8. Найти вероятность пяти попаданий при шести выстрелах.

Решение. Применяем формулу (3.2.1). Так как по условию n=6, к = 5, р = 0,8, следовательно, q = 1 - р = 0,2, то

.

Пример 5. В схожесть семян данного сорта растений составляет 80 %. Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет не меньше 4.

Решение. В соответствии с условием р = 0,8, поэтому q = 0,2. Далее, п = 5, , т.е. k принимает значения или 4 или 5. Событие, вероятность которого следует определить, обозначим через А, тогда