Лекция 9. Осциллятор. FIR фильтры
Полосовой фильтр на основе фильтра низких частот
В предыдущей лекции было показано, каким образом можно построить различные фильтры. Оказывается, любой из таких фильтров можно получить на основе фильтра низких частот с помощью универсальной процедуры.
![]() |
Пусть имеется сигнал с преобразованием Фурье
. Рассмотрим новую последовательность
. По определению
. Если нам нужен полосовой фильтр, можем поступить следующим образом. Сдвиг осуществляется генератором на основе осциллятора, о котором будет сказано ниже.
|
Обратный сдвиг осуществляется так же.
Непосредственное применение указанного способа не удобно, поскольку приходится работать с комплексными числами, и в результате обратного сдвига получается, как правило, комплексный сигнал. Выход заключается в преобразовании . В результате
. Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и
выбран так, что носители
и
не пресекаются, задача решается без применения комплексных чисел. Например, пусть спектр
находится в интервале 2kHz-4kHz, и требуется получить лишь часть сигнала в диапазоне 2.5kHz-3.5kHz. Выбираем
=3kHz и используем фильтр низких частот с полосой пропускания 0.5kHz. После обратного сдвига придется использовать еще один фильтр низких частот с полосой пропускания 3.5kHz.
Фильтр как осциллятор
Выше отмечалось, что для сдвига спектра последовательности требуется источник, генерирующий последовательности вида . Обычный способ генерирования таких последовательностей не годится, поскольку возникает проблема подсчета фукнции от большого аргумента. Существует альтернативный способ генерации, основанный на теории фильтров.
|
Для устойчивости фильтра достаточно, чтобы все корни находились внутри единичной окружности. Если корни лежат на окружности, фильтр можно использовать для генерации. Рассмотрим уравнение
(1)
Уравнение имеет два корня
, поэтому (1) можно записать в виде
. Из полученного равенства следуют два рекуррентных соотношения:
. Вычитая из первого уравнения второе, получим
Полагая , получим
. Аналогично, взяв
, найдем, что
.
Фазовый сдвиг сигнала в результате фильтрации
При проектировании фильтра учитывался лишь модуль передаточной функции. В общем случае . Здесь
аргумент передаточной функции. Если спектр исходного сигнала сосредоточен в точке
, то в результате фильтрации, кроме изменения интенсивности, происходит сдвиг фильтрованного сигнала на величину
по отношению к исходному. При сравнении исходного сигнала с соредоточенным спектром и результирующего наблюдается сдвиг одного относительно другого. В общем случае наблюдается фазовое искажение сигнала, однако, одно не улавливается ухом. В то же время, когда важна фаза сигнала, приходится использовать методы компенсации или фильтр с вещественной передаточной функцией. Для компенсации фазового искажения можно использовать, например, фильтры вида
, где
-любое число,
. Это устойчивый фильтр, а его передаточная фукнция имеет вид
. Модуль этой передаточной функции равен 1, а аргумент меняется вместе с частотой.