ПАМ Толстиков А.В.
Курс 3. Семестр 6. Практическое занятие 1.
Тема Группы
Курс 3. Семестр 6. Практическое занятие 1 Тема Группы. Подгруппы. Фактор группа
Изучаемые вопросы
Изоморфизм групп и его свойства. Группа взаимно однозначных отображений множества самого на себя. Группа подстановок. Определение подгруппы. Примеры. Степень элемента в группе и ее свойства. Циклические подгруппы и группы. Смежные классы и их свойства. Теорема Лагранжа и ее следствия. Нормальный делитель группы. Фактор группа. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп и их свойства.
Задачи для решения в аудитории и на дом
1. Составить таблицы Кели для закона композиции следующих групп преобразований плоскости, совмещающих с собой:
1) вращений плоскости, совмещающих правильный треугольник сам с собой; 2) вращений плоскости, совмещающих квадрат сам с обой; 3) движений плоскости, совмещающие правильный треугольник сам с собой; 4) движений плоскости, совмещающие квадрат сам с собой.
2. Доказать, что следующие множества функций образуют группу относительно операции композиция функций:
1) { f 1, f 2, f 3, f 4}, где f 1(x) = x, f 2(x) = - x, f 3(x) = 1/ x, f 4(x) =-1/ x;
2) { f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6}, где f 1(x) = x, f 2(x) =1 - x, f 3(x) = 1/ x, f 4(x) =1/(1- x), f 4(x) =- x /(1- x), f 4(x) =(x -1)/ x.
3. Доказать, что следующие множества квадратных матриц являются мультипликативными группами:
4. Какие из следующие подмножеств матриц Mn (R) являются группами относительно операции умножения матриц: 1) множество всех невырожденных матриц; 2) множество всех матриц с определителем равным 1;
3) множество всех матриц с целыми элементами и определителем по модулю равным 1.
4) множество всех треугольных матриц.
5. Составить таблицы Кели в группах:
1) (Z 4, +); 2) (Z 6, +); 3) (Z 6', ×); 4) S 3.
6. Вычислитьa2, a3, a4, a5. Решить уравнения ac = b, ca = b, acg = b, если
.
7. Какие из указанных ниже множеств являются подгруппами группы (Z, +)?
1) N; 2) 3 N = {3 n | n Î N }; 3) 3 N +1 = {3 n + 1 | n Î N }; 4) 3 N +2 = {3 n + 2 | n Î N }; 5) 3 Z = {3 n | n Î Z }.
8. Какие из указанных ниже множеств являются подгруппами группы (R*, ×)?
1) R; 2) N; 3) 3 N = {3 n | n Î N }; 4) R+ = { x Î R | x > 0}; 5) R- = { x Î R | x < 0}; 6) {0}; 7) {1}; 8) {0, 1}.
9. Какие из указанных ниже множеств являются подгруппами группы (С*, ×)?
1) R+ = { x Î R | x > 0}; 2) R- = { x Î R | x < 0}; 3) A = { z Î C || z |= 1}; 4) A = { z Î C | zn = 1}, n Î N; 5) {1, -1, i, -i }.
10. Какие из указанных ниже множеств являются подгруппами главной линейной группы Gl n (R) относительно операции умножения матриц:
1) множество целочисленных матриц с определителем равным 1; 2) множество всех действительных матриц с определителем равным 1; 3) множество всех диагональных матриц с определителем неравным нулю;
3) множество всех треугольных матриц;
4) множество всех симметрических матриц.
11. Докажите, следующие группы попарно изоморфны:
1) Z и n Z, n Î N; 2) (R+, ×) и (R, +); 3) Z3 и группа вращений правильного треугольника; 4) S 3 и группа всех преобразований правильного треугольника самого в себя; 4) Z2 и ({1, -1}, ×}; 5) Z n и { z Î C | zn = 1}.
12. Какие из отображений групп j: С*® R* являются гомоморфизмами:
1) j(z) = | z |; 2) j(z) = 2| z |; 3) j(z) = 1/| z |; 4) j(z) = 1+ | z |; 5) j(z) = | z |2; 6) j(z) = 1; 1) j(z) = -1.
13. Доказать, что если a 2 = e для любого элемента a группы G, то группа G абелева.
- Доказать, что для любых элементов a, b группы G элементы ab и ba имеют одинаковый порядок.
- Найти все подгруппы указанной группы G и для каждой из этих подгрупп найти классы смежности группы G по найденной подгруппе. Какие из этих подгрупп являются нормальными делителями.
1) G - циклическая группа шестого порядка; 2) G - циклическая группа порядка 12; 3) G - симметрическая группа S 3.
- Найти все классы смежности группы Z по подгруппе n Z. Найти фактор группу и Z / n Z.
- Доказать, что всякая подгруппа абелевой группы нормальная подгруппа.
- Доказать, что пересечение подгрупп подгруппа.
- Найти порядки элемента группы
.