Свойства функций автоковариации и автокорреляции.




1. Максимум функций наблюдается при τ =0. Это очевидно, т.к. при τ =0 вычисляется степень связи отсчетов с собой же, которая не может быть меньше связи разных отсчетов. Значение максимума функции корреляции равно средней мощности сигнала.

2. Функции автокорреляции и автоковариации являются четными: RX(τ) = RX(-τ). Последнее также очевидно: X(t)X(t+ τ) = X(t- τ)X(t) при t = t- τ. Говоря иначе, моменты двух случайных величин X(t1) и X(t2) не зависят от последовательности, в которой эти величины рассматриваются, и соответственно симметричны относительно своих аргументов: Rx(t1, t2) = Rx(t2, t1).

3. При τ Þ¥ значения ФАК для сигналов, конечных по энергии, стремятся к нулю, что прямо следует из физического смысла ФАК. Это позволяет ограничивать длину ФАК определенным максимальным значением τmax - радиусом корреляции, за пределами которого отсчеты можно считать независимыми. Интегральной характеристикой времени корреляции случайных величин обычно считают эффективный интервал корреляции, определяемый по формуле:

Tk = |rx(τ)| d τ º (1/Kx(0)) |Kx(τ)| d τ.

Отсчеты (сечения) случайных функций, отстоящие друг от друга на расстояние большее Tk, при инженерных расчетах считают некоррелированными.

4. Если к случайной функции X(t) прибавить неслучайную функцию f(t), то ковариационная функция не изменяется. Обозначим новую случайную функцию как Y(t)=X(t)+f(t). Функция математического ожидания новой величины: = + f(t). Отсюда следует, что Y(t) - = X(t) - , и соответственно Ky(t1,t2) = Kx(t1,t2).

5. Если случайную функцию X(t) умножить на неслучайную функцию f(t), то ее корреляционная функция Rx(t1,t2) умножится на f(t1)×f(t2). Обоснование данного свойства проводится по методике, аналогичной предыдущему пункту.

6. При умножении функции случайного процесса на постоянное значение С значения ФАК увеличиваются в С2 раз.

Взаимные моменты случайных процессов второго порядка дают возможность оценить совместные свойства двух случайных процессов X(t) и Y(t) путем анализа произвольной пары выборочных функций xk(t) и yk(t).

Мера связи между двумя случайными процессами X(t) и Y(t) также устанавливается корреляционными функциями, а именно - функциями взаимной корреляции и взаимной ковариации. В общем случае, для произвольных фиксированных моментов времени t1 = t и t2 = t+ τ:

RXY(t, t+ τ) = M{X(t)Y(t+ τ)}.

KXY(t, t+ τ) = M{(X(t)-mx(t))(Y(t+ τ)-my(t+ τ))}.

Взаимные функции являются произвольными функциями, не обладают свойствами четности или нечетности, и удовлетворяют следующим соотношениям:

Rxy(-τ) = Ryx(τ),

|Rxy(τ)|2 £ Rx(0)Ry(0).

Если один из процессов центрированный, то имеет место Rxy(t) = Kxy(t).

Нормированная взаимная ковариационная функция (коэффициент корреляции двух процессов) характеризует степень линейной зависимости между случайными процессами при данном сдвиге τ одного процесса по отношению ко второму и определяется выражением:

rxy(τ) = Kxy(τ)/(σ x σ y).

Статистическая независимость случайных процессов определяет отсутствие связи между значениями двух случайных величин X и Y. Это означает, что плотность вероятности одной случайной величины не зависит от того, какие значения принимает вторая случайная величина. Двумерная плотность вероятностей при этом должна представлять собой произведения одномерных плотностей вероятностей этих двух величин:

r (x,y) = r (x) r (y).

Это условие является обязательным условием статистической независимости случайных величин. В противном случае между случайными величинами может существовать определенная статистическая связь, как линейная, так и нелинейная. Мерой линейной статистической связи является коэффициент корреляции:

rxy = [M{X·Y} – M{X}·M{Y}]/ .

Значения rxy могут изменяться в пределах от -1 до +1. В частном случае, если случайные величины связаны линейным соотношением x=ay+b, коэффициент корреляции равен ±1 в зависимости от знака константы а. Случайные величины некоррелированы при rxy=0, при этом из выражения для rxy следует:

M{X·Y} = M{X}·M{Y}.

Из статистической независимости величин следует их некоррелированность. Обратное не очевидно. Так, например, случайные величины x=cos j и y=sin j, где j - случайная величина с равномерным распределением в интервале 0…2π, имеют нулевой коэффициент корреляции, и вместе с тем их зависимость очевидна.

Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Вероятность события А равна 0,3. Случайная величина Х – число появлений события А в опыте (характеристическая случайная величина события А).

Построить её функцию распределения.

Решение. Ряд распределения величины Х имеет вид:

Построим функцию распределения величины :

1) при

;

2) при

;

3) при

.

График функции распределения представлен на рисунке. В точках разрыва функция принимает значения, отмеченные на чертеже точками (функция непрерывна слева).

Пример 2. Производится 4 независимых опыта, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Случайная величина Х – число появлений события А в четырех опытах. Эта величина имеет ряд распределения

Построить функцию распределения числа появлений события А.

Решение. Построим функцию распределения случайной величины :

1) при ;

2) при ;

3) при ;

4) при ;

5) при ;

6) при .

График функции распределения представлен на рисунке.

Пример 3. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением

а) Найти коэффициент а.

б) Найти плотность распределения .

в) Найти вероятность попадания величины на участок от 0,25 до 0,5.

Решение. а) Так как функция распределения величины непрерывна, то при значения , откуда .

б) Плотность распределения величины выражается формулой

в) По формуле имеем:

.

 

 

Пример 4.. В связке из 3 ключей только один ключ подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ.

Построить закон распределения для случайной величины x – числа опробованных ключей.

Построить функцию распределения Fx(x) для случайной величины x.

Решение.

1. Число опробованных ключей может равняться 1, 2 или 3. Если испытали только один ключ, это означает, что этот первый ключ сразу подошел к двери, а вероятность такого события равна 1/3. Итак, Далее, если опробованных ключей было 2, т.е. x=2, это значит, что первый ключ не подошел, а второй – подошел. Вероятность этого события равна 2/3×1/2=1/3. То есть, Аналогично вычисляется вероятность В результате получается следующий ряд распределения:

 

x      
P 1/3 1/3 1/3

2. Случайная величина x имеет три значения 1, 2, 3, которые делят всю числовую ось на четыре промежутка: .

Если x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0.

Если 1£x<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3.

Если 2£x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x<x)=P(x=1)+P(x=2)=2/3, т.е. Fx(x)=2/3.

И, наконец, в случае x³3 неравенство x£x выполняется для всех значений случайной величины x, поэтому P(x<x)=P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)=1, т.е. Fx(x)=1.

Итак, мы получили следующую функцию:

 

Пример 5. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения Fx(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия В результате имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения Fx(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события (x<x) вычисляется так:

так как плотность x на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

так как плотность обращается в нуль на полуоси .

Итак, получена функция распределения

Следовательно,

Пример 6. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью:

при

при или .

а) Найти коэффициент а.

б) Построить график плотности распределения .

в) Найти функцию распределения и построить её график.

г) Найти вероятность попадания величины на участок от 0 до .

Решение. а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:

,

откуда .

б) График плотности представлен на рисунке.

в) По формуле получаем выражение функции распределения:

График функции изображен на рисунке.

г) По формуле имеем:

.

Тот же результат, но несколько более сложным путем, можно получить по формуле .

Пример 7. Плотность распределения случайной величины задана формулой:

.

а) Построить график плотности .

б) Найти вероятность того, что величина попадет на участок (-1, +1).

Решение. а) График плотности дан на рисунке.

б) По формуле имеем:

.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-05-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: