в виде последовательного соединения двух фильтров

 

Каждому элементу задержки на схеме фильтра соответствует ячейка памяти цифрового устройств. Из рисунка видно, что для хранения одной переменной используется две ячейки памяти. Такое дублирование устраняется использованием одной линией задержки максимальной длины. При этом схема фильтра при M=N преобразуется к виду, представленному на рисунке 2.19. Это и есть каноническая форма программной реализации фильтра.

Достоинством канонической формы является меньшее количество элементов задержки, следовательно, ячеек памяти вычислительного устройства.

 

 

Рисунок 2.19 – Каноническая форма программной реализации фильтра

 

Однако обычно вместо структуры, изображенной на рисунке 2.19, используется параллельное или последовательное соединение звеньев второго порядка. Такое представление фильтра связано с возможностью представления системной функции H(z) в виде произведения или суммы системных функций с полиномами второго порядка в числителе и знаменателе

, (2.19)

 

, (2.20)

 

где L – порядковый номер звена, L_max – максимальное значение номера звена

При четном N фильтр состоит из N/2 звеньев второго порядка, при нечетном N фильтр состоит из одного звена первого порядка и (N-1)/2 звеньев второго порядка.

Системная функция звена первого порядка отличается от системной функции звена второго порядка тем, что коэффициенты B₂ и A₂ равны нулю.

Соотношению (2.19) соответствует схема рисунка 2.20 а, а соотношению (2.20) – схема рисунка 2.20 б.

Типовая схема звена второго порядка приведена на рисунке 2.21. В англоязычной литературе звено второго порядка принято называть биквадратным звеном. На входе звена показан масштабный коэффициент M_L (как правило, меньше единицы), предотвращающий появление в процессе вычислений значений сигналов фильтра, выходящих за пределы разрядной сетки вычислительного устройства с фиксированной точкой.

 

Рисунок 2.20- Последовательное (а) и параллельное (б) соединение

звеньев фильтра

Рисунок 2.21 – Типовое звено второго порядка

 

2.9. Фильтры с конечной импульсной характеристикой

2.9.1. Фильтр с линейной ФЧХ

 

Случай 1. Симметричная импульсная характеристика, длина импульсной характеристики N – нечётное число

На рисунке 2.22 приведена симметричная импульсная характеристика конечной длины N, где N – нечётное число.

.

Рисунок 2.22. Симметричная импульсная характеристика КИХ – фильтра

при нечётном N

 

Характеристика симметрична относительно центрального отсчёта с номером

Значение центрального отсчёта равно По обе стороны от центрального отсчета находится отсчётов со значениями

Определим системную функцию как прямое Z – преобразование импульсной характеристики

Найдём комплексный коэффициент передачи, используя подстановку ,

(2.21)

где

Тогда АЧХ и ФЧХ при нечётном N определятся следующими соотношениями:

(2.22)

 

Из последнего соотношения видно, что ФЧХ фильтра линейна, а АЧХ определяется абсолютной величиной суммы ряда косинусов.

На рисунке 2.23 приведена структурная схема фильтра с линейной ФЧХ при нечетном N=5.

Рисунок 2.23. КИХ-фильтр с линейной ФЧХ при нечётном N=5

 

При длине импульсной характеристики, определяемой нечётным числом N, количество элементов задержки является чётным числом N-1, а коэффициенты системной функции симметричны относительно середины линии задержки.

Случай 2. Симметричная импульсная характеристика, длина импульсной характеристики N – чётное число

В этом случае ось симметрии проходит между центральными отсчетами с номерами (рисунок 2.24). Определим системную функцию фильтра

 

 

Рисунок 2.24. Симметричная импульсная характеристика КИХ – фильтра

при чётном N

 

Подставив в выражение для системной функции , найдём комплексный коэффициент передачи фильтра

(2.23)

где .

Тогда АЧХ и ФЧХ при чётном N определятся следующими соотношениями:

(2.24)

Из (2.24) видно, что ФЧХ линейна.

На рисунке 2.25 приведена структурная схема фильтра с линейной ФЧХ при четном N=4.

При длине импульсной характеристики, определяемой чётным числом N, количество элементов задержки является нечётным числом N-1, а коэффициенты системной функции симметричны относительно центрального элемента линии задержки.

 

Рисунок 2.25. КИХ-фильтр с линейной ФЧХ при чётном N=4

 

2.9.2. Однородный фильтр

 

Однородным называется фильтр, у которого все отсчёты импульсной характеристики одинаковы. Для уменьшения количества операций умножения при реализации фильтра эти отсчёты принимаются равными единице, а коэффициент передачи фильтра регулируется масштабным коэффициентом на его входе. Однородный фильтр называют также фильтром скользящего среднего.

На рисунке 2.26 приведена импульсная характеристика однородного фильтра длиной N=5, а на рисунке 2.27 его структурная схема.

Рисунок 2.26. Импульсная характеристика однородного фильтра при N=5

 

Рисунок 2.27. Однородный фильтр

 

Пусть требуется определить и построить графики АЧХ и ФЧХ фильтра. Решим эту задачу двумя способами.

Способ 1. Воспользуемся соотношениями (2.21) при N=5 и b_k=1 для k=0, 1, 2, 3, 4.

Тогда

(2.25)

На рисунках 2.28 и 2.29 приведены АЧХ и ФЧХ однородного фильтра при N=5

Рисунок 2.28. Функция и АЧХ однородного фильтра

Рисунок 2.29. ФЧХ однородного фильтра до и после приведения в интервал

от - до

 

Из АЧХ следует, что однородный фильтр является фильтром нижних частот. Особенностью АЧХ являются пульсации в полосе задерживания. Максимальный коэффициент передачи фильтра равен K(0)=5. Чтобы его уменьшить, например, до единицы, нужно использовать на входе фильтра масштабный коэффициент M=1/5, как это показано на рисунке 2.30.

Рисунок 2.30. Однородный фильтр с масштабным коэффициентом M на входе

 

На рисунке 2.29 слева сплошными линиями представлена ФЧХ рассчитанная по (2.25), а пунктиром показаны её составляющие и .

Однако общепринятым является представление ФЧХ в интервале от до . Такое представление связано с периодичностью синусоидального сигнала. Ведь ФЧХ показывает, какой фазовый сдвиг приобретает синусоидальный сигнал при прохождении через фильтр, а для синусоиды фазовый сдвиг, кратный , эквивалентен нулевому фазовому сдвигу. Следовательно, ФЧХ можно ввести в интервал от до путем прибавления или вычитания целого числа

(2.26)

Если после выполнения (2.26) не войдёт в заданный интервал, то (2.26) нужно выполнить повторно, предварительно приняв

В рассматриваемом случае достаточно прибавить к в интервале значений , при которых В результате получается ФЧХ , приведённая на рисунке 2.29 справа. На этом же рисунке приведена исходная ФЧХ , которая отличается от только на участке, где .

Способ 2. В соответствии со схемой 2.27 запишем разностное уравнение

Найдём Z-преобразование последовательности

Определим системную функцию

Используя подстановку , получим выражение для комплексного коэффициента передачи

Из последнего соотношения получим

Как видно, полученные соотношения не отличаются от (2.25).

Выясним влияние длины импульсной характеристики N на АЧХ и ФЧХ фильтра. Для этого выполним расчёт АЧХ и ФЧХ при N=10. Из (2.24) при получим

Рассчитанные по этим формулам АЧХ и ФЧХ приведены на рисунках 2.30 и 2.31. Для приведения ФЧХ в стандартный интервал соотношение (2.26) было применено дважды.

 

Рисунок 2.30. Функция и АЧХ однородного фильтра при N=10

 

Рисунок 2.31. ФЧХ однородного фильтра при N=10 без приведения и с приведением

в интервал от до

 

На рисунке 2.32 приведены АЧХ однородных фильтров с масштабными коэффициентами на входе, выбранных из условия получения максимального коэффициента передачи фильтров, равного единице, при N=5 и N=10.

Рисунок 2.32. АЧХ однородных фильтров при N=5 () и N=10 (

 

Из рисунка видно, что увеличение длины линии задержки

· сужает полосу пропускания фильтра,

· увеличивает частоту пульсаций АЧХ в полосе задерживания,

· уменьшает амплитуду пульсаций в полосе задерживания.

 

2.9.3. Триангулярный фильтр

 

Триангулярным называется фильтр с треугольной огибающей отсчетов импульсной характеристики (рисунок 2.33).

Рисунок 2.33. Импульсная характеристика триангулярного фильтра

 

При N=3 и минимальном значении отсчёта, равным единице, максимальный отсчёт с

номером 1 равен 2, при N=5 максимальный отсчёт равен

Поскольку импульсная характеристика симметрична относительно её центрального отсчёта, то триангулярный фильтр является фильтром с линейной ФЧХ.

На рисунке показана импульсная характеристика с минимальным значением отсчёта, равным единице. В общем случае все отсчеты этой характеристики могут быть пропорционально уменьшены или увеличены.

Покажем, что треугольная импульсная характеристика триангулярного фильтра h_n может быть получена как дискретная свёртка двух одинаковых импульсных характеристик h0_n однородного фильтра

(2.27

Процесс получения отсчётов импульсной характеристики триангулярного фильтра иллюстрирует рисунок 2.32.

На рисунке приведена импульсная характеристика однородного фильтра . Длина импульсной характеристики равна N0, все отсчёты равны единице.

Из (2.27) видно, что для определения нулевого отсчета дискретной свёртки h₀ нужно отсчеты импульсной характеристики h0_k умножить на совпадающие с ними по времени отсчеты характеристики , приведённой на рисунке 2.34 в позиции «1», и выполнить суммирование полученных произведений. Из рисунка видно,что результатом этих операций является

Для определения первого отсчета дискретной свёртки h₁ требуется отсчёты импульсной характеристики h0_k умножить на совпадающие с ними во времени отсчёты характеристики h0_1-k, приведённой на рисунке 2.34 в позиции «2 », и выполнить суммирование произведений. Из рисунка видно, что в этой позиции перекрываются уже две пары отсчётов, поэтому сумма произведений будет равна

Каждое смещение характеристики на один отсчёт вправо относительно h0_k будет увеличивать сумму произведений на единицу. Для отсчёта дискретной свёртки сумма произведений будет максимальной и равной N0. Этот случай представлен позицией «3 » на рисунке 2.34.

Дальнейшее смещение h0_n-k относительно h0_k приводит к уменьшению отсчетов дискретной свёртки. В позиции «4 » показано, что отсчёт дискретной свёртки .

В позиции «5 » определяется последний отсчёт дискретной свёртки с номером , равный единице.

Временная диаграмма дискретной свёртки h_n импульсных характеристики h0_n одинаковых однородных фильтров приведена на рисунке 2.35.

 

Рисунок 2.34. Дискретная свёртка импульсных характеристик двух одинаковых

однородных фильтров

 

Рисунок 2.35. Временная диаграмма дискретной свёртки импульсных характеристик

двух одинаковых однородных фильтров

 

Сравнение рисунков 2.35 и 2.33 показывает, что временная диаграмма дискретной свёртки не отличается от импульсной характеристики триангулярного фильтра, если выполняется условие

Определим системную функцию триангулярного фильтра , воспользовавшись соотношением для дискретной свёртки (2.26) и учитывая, что прямое Z-преобразование дискретной свёртки равно произведению Z-преобразований свёртываемых последовательностей,

где

Из последнего соотношения следует связь между комплексными коэффициентами передачи триангулярного и однородного фильтров

(2.28)

Если является нечётным числом, то подставляя (2.21) в последнее соотношение при b_k=1 и длине импульсной характеристики однородного фильтра N0, получим

где

Из последнего соотношения найдём АЧХ и ФЧХ без приведения в интервал от до

(2.29)

Если является чётным числом, то подставляя (2.23) в последнее соотношение при b_k=1 и длине импульсной характеристики однородного фильтра N0, получим

где .

Из последнего соотношения найдём АЧХ и ФЧХ без приведения в интервал от до

(2.30)

Выполним расчёт АЧХ и ФЧХ триангулярного фильтра рисунка 2.36

 

Рисунок 2.36. Триангулярный фильтр при N=5

 

Определим длину импульсной характеристики однородного фильтра

Поскольку N0=3 является нечётным числом расчет АЧХ и ФЧХ выполним по (2.29)

На рисунке 2.37 приведены АЧХ фильтра, ФЧХ рассчитанная по последней формуле, и ФЧХ , приведённая в стандартный интервал

Рисунок 2.37. АЧХ и ФЧХ триангулярного фильтра при длине импульсной

характеристики N=5

 

Из рисунка видно, что триангулярый фильтр, как и однородный, является фильтром нижних частот.

На рисунке 2.38 приведены АЧХ триангулярного и однородного фильтров с N=5 и с одинаковыми значениями максимального коэффициента передачи за счёт соответствующего выбора масштабных коэффициентов (Mo=1/5, Mt=1/9

Рисунок 2.38. АЧХ триангулярного и однородного фильтров при N=5

 

Из рисунка видно, что АЧХ триангулярного фильтра имеет меньший уровень пульсаций в полосе задерживания по сравнению с АЧХ однородного фильтра, но большую ширину главного лепестка АЧХ.

 

2.9.4. Гребенчатый фильтр

 

На рисунке 2.39 приведена структурная схема гребенчатого фильтра, в состав которого входит линия задержки из N-1 элемента. Коэффициент b может принимать два значения b=1 или b= -1.

 

Рисунок 2.39

 

На рисунке 2.40 приведены две импульсные характеристики фильтра при b=1 и при

b= -1.

Рисунок 2.40. Импульсные характеристики гребенчатых фильтров

 

Определим системную функцию фильтра двумя способами:

Способ 1.

Системная функция является прямым Z-преобразованием импульсной характеристики

Способ 2.

Воспользовавшись схемой рисунка 2.39 запишем разностное уравнение

Выразим Z-преобразование выходного сигнала через Z-преобразование входного сигнала

Определим системную функцию

Комплексный коэффициент передачи фильтра равен

Определим комплексный коэффициент передачи фильтра при b=1

где

Найдём АЧХ и ФЧХ фильтра

На рисунке 2.41 приведены функция и АЧХ , а на рисунке 2.42 – ФЧХ и ФЧХ приведённая в стандартный интервал от до . ФЧХ получена в результате двукратного использования соотношения (2.26).

 

Рисунок 2.41. Функция и АЧХ при b=1

 

Рисунок 2.42. ФЧХ и ФЧХ приведённая в стандартный интервал

 

Определим комплексный коэффициент передачи фильтра при b=-1

где

Найдём АЧХ и ФЧХ фильтра

 

На рисунке 2.43 приведены функция и АЧХ , а на рисунке 2.44 – ФЧХ и ФЧХ приведённая в стандартный интервал от до .

 

Рисунок 2.43. Функция и АЧХ при b= -1

 

Рисунок 2.44. ФЧХ и ФЧХ приведённая в стандартный интервал

 

Из рисунков видно, что АЧХ фильтра состоит из одинаковых лепестков, количество и ширина которых зависят от длины импульсной характеристики. Диапазон частот, соответствующий ширине лепестка, равен С увеличением длины импульсной характеристики N ширина лепестка уменьшается, а их количество увеличивается, и АЧХ становится похожей на гребёнку, поэтому фильтр называется гребенчатым.

ФЧХ фильтра является линейно-ломаной, однако, в пределах каждого лепестка она линейна как при b=1, так и при b= -1.

 

2.10. Рекурсивные цифровые фильтры

2.10.1. Цифровой резонатор

 

Цифровой резонатор (рисунок 2.45) представляет собой звено второго порядка (рисунок 2.21), у которого коэффициенты системной функции B₁ и B₂ равны нулю, а коэффициент B₀=1.

 

Рисунок 2.45. Цифровой резонатор

 

Для определения системной функции резонатора запишем разностное уравнение

Перейдём от разностного уравнения к уравнению для Z-преобразований дискретных сигналов

Из последнего уравнения выразим через

Определим системную функцию фильтра

(2.31)

Определим полюсы системной функции. Для этого приравняем знаменатель нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения

.

При этом системная функция преобразуется к виду

(2.32)

В цифровом резонаторе полюсы системной функции должны быть комплексно-сопряжёнными.

Следовательно, должно выполняться условие

.

При этом условии полюсы системной функции определяются следующим соотношением

, (2.33)

где .

На рисунке 2.46 показаны полюсы системной функции резонатора на комплексной плоскости z. Окружность единичного радиуса с центром в начале координат является геометрическим местом точек, для которых выполняется условие

.

 

Рисунок 2.46. Полюсы системной функции z₁ и z₂

 

При изменении θ от 0 до π частота изменяется от 0 до F_Д / 2. При этом конец вектора перемещается по окружности единичного радиуса. Расстояние конца этого вектора от полюса системной функции минимально при , т.е. при , где - резонансная частота резонатора.

Подставляя в последнее соотношение θ₀ из (2.33), получим

. (2.34)

Из последнего соотношения видно, что резонансная частота прямо пропорциональна частоте дискретизации F_Д и зависит от коэффициентов системной функции A₁ и A₂. При A₁=0 резонансная частота равна четверти частоты дискретизации, при A₁<0 резонансная частота меньше четверти частоты дискретизации, а при A₁> 0 – больше четверти частоты дискретизации.

Сначала рассмотрим частный случай настройки резонатора на частоту, равную четверти частоты дискретизации, при и определим комплексный коэффициент передачи, АЧХ и ФЧХ резонатора.

Подставляя в (2.31) , получим

.

Последнее соотношение позволяет определить АЧХ и ФЧХ резонатора:

, (2.35)

. (2.36)

Из (2.35) видно, что на резонансной частота при резонансный коэффициент передачи равен

(2.37)

Из этого же соотношения следует, что

Например, при M=1, A₂=0.999 резонансный коэффициент передачи равен 1000, а коэффициенты передачи на границах рабочего интервала примерно равны 0.5.

На рисунке 2.47 приведена АЧХ, рассчитанная по (2.35), а на рисунке 2.48 – ФЧХ, рассчитанная по (2.36) при A₂=0.9, M=1-A₂.

Рисунок 2.47 -АЧХ резонатора Рисунок 2.48 -ФЧХ резонатора

при =0.9, =0, M=1- при =0.9, =0

 

Из рисунка 2.47 видно, что АЧХ цифрового резонатора по форме похожа на резонансную кривую аналогового колебательного контура. ФЧХ резонатора (рисунок 2.48) не линейна, фазовые сдвиги, вносимые резонатором на частотах 0, и , равны нулю. Фазовый сдвиг на частота ниже частоты положительный, а на частотах выше отрицательный. Вблизи резонансной частоты ФЧХ цифрового резонатора подобна ФЧХ аналогового колебательного контура, а при больших расстройках существенно отличается.

АЧХ и ФЧХ при A₁=0, A₂=0.99 приведены на рисунках 2.49 и 2.50 соответственно.

 

Рисунок 2.49 -АЧХ резонатора Рисунок 2.50 -ФЧХ резонатора

при =0.99, =0, M=1- при =0.99, =0

Сравнение характеристик при разных значениях коэффициента А₂ показывает, что при стремлении А₂ к единице резонанс становится более острым и увеличивается крутизна ФЧХ вблизи резонансной частоты.

А теперь выясним, как влияет коэффициент A₁ на АЧХ и ФЧХ цифрового резонатора.

Для этого рассмотрим АЧХ и ФЧХ при А₁<0 и при A₁>0. Соответствующие графики приведены на рисунках 2.51.. 2.54.

Рисунок 2.51 - АЧХ резонатора Рисунок 2.52 -ФЧХ резонатора

при =0.9, = -0.9, M=1- при =0.9, = -0.9

 

Рисунок 2.53 - AЧХ резонатора Рисунок 2.54 - ФЧХ резонатора

при =0.9, = 0.9, M=1- при =0.9, =0.9

 

Из приведенных рисунков видно, что коэффициент А₁ влияет на резонансную частоту резонатора. В результате АЧХ и ФЧХ сдвигаются вдоль оси частот. При этом нарушается симметрия АЧХ, становятся различными абсолютные значения максимального и минимального фазового сдвигов, вносимых резонатором, изменяется максимальное значение коэффициента передачи.

Определим комплексный коэффициент передачи резонатора при Для этого в выражение для системной функции (2.32) подставим и из (2.33)

(2.38)

 

Резонансный коэффициент передачи равен

.

При коэффициент перед в последнем выражении равен 0.97, при приближении А₂ к единице он стремится к единице. Поэтому при , что, как правило, выполняется в цифровых резонаторах, можно воспользоваться приближённым соотношением

(2.39)

Из (2.39), как частный случай при получается (2.37). Из последнего соотношения видно, что минимум резонансного коэффициента передачи при постоянных значениях M и A₂ имеет место при . По мере отклонения резонансной частоты от этого значения резонансный коэффициент передачи увеличивается.

Соотношение (2.39) позволяет определить масштабный коэффициент M, обеспечивающий требуемое значение резонансного коэффициента передачи.

Определим АЧХ резонатора – зависимость модуля комплексного коэффициента передачи (2.38) от частоты

 

Как и (2.39) последнее соотношение справедливо при .

Разделив на резонансный коэффициент передачи , получим АЧХ в относительном масштабе по оси ординат

Учитывая, что получим АЧХ в относительном масштабе как функцию нормированной частоты

(2.40)

Важным параметром резонатора является полоса пропускания. Рисунок 2.55 иллюстрирует это понятие..

Рисунок 2.55. К определению полосы пропускания

Под нормированной полосой пропускания П_N резонатора понимается разность нормированных граничных частот f_Ng2-f_Ng1 вблизи резонансной частоты f_N0, определённая на заданном уровне или при заданной допустимой неравномерности в полосе пропускания .

Под неравномерностью в полосе пропускания понимается отношение максимального коэффициента передачи в пределах полосы пропускания к минимальному. В случае резонатора максимальным является резонансный коэффициент передачи, а минимальным коэффициент передачи на границе полосы пропускания при расстройке относительно резонансной частоты f_N0, равной

Таким образом, из (2.40) при получим

При и

В этом случае последнее соотношение существенно упрощается

. (2.41)

Следовательно,

. (2.42)

 

Пример. Требуется определить коэффициенты A₁, A₂ и М цифрового резонатора с нормированной резонансной частотой нормированной полосой пропускания при неравномерности , резонансным коэффициентом передачи, равным единице, и рассчитать АЧХ резонатора.

 

1. Из (2.42) определим параметр d

 

2. Воспольз