Обратная геодезическая задача заключается в том, что при известных координатах точек А (XA, YA) и В (XB, YB) необходимо найти длину SAB и направление линии АВ: румб rAB и дирекционный угол αAB (рис.24).
Рис. 24. Обратная геодезическая задача
Даннная задача решается следующим образом.
Сначала находим приращения координат:
ΔX = XB – XA;
ΔY = YB – YA.
Величину угла rAB определем из отношения
ΔY | = tg rAB |
ΔX |
.
По знакам приращений координат вычисляют четверть, в которой располагается румб, и его название. Используя зависимость между дирекционными углами и румбами, находим αAB.
Для контроля расстояние SAB дважды вычисляют по формулам:
SAB= | ΔX | = | ΔY | = ΔX · sec αAB = ΔY · cosec αAB |
cos αAB | sin αAB |
SAB= | ΔX | = | ΔY | = ΔX · sec rAB = ΔY · cosec rAB |
cos rAB | sin rAB |
Расстояние SAB можно определить также по формуле
.
Связь между дирекционными углами предыдущей и последующей линий
На рис. 25 представлена схема определения дирекционных углов сторон теодолитного хода AB. Известен дирекционный угол исходной стороны α0 и измерены геодезическим прибором теодолитом углы β1, β2, β3, лежащие справа по ходу от А к В.
Рис. 25. Схема определения дирекционных углов сторон теодолитного хода
Найдём дирекционные углы α1, α2, α3 остальных сторон хода.
На основании зависимости между прямыми и обратными дирекционными углами можем написать:
α1 + β1 = α0 + 180° из данного выражения следует, что α1 = α0 + 180° – β1 (1).
Аналогично вычисляются дирекционные углы последующих сторон теодолитного хода:
α2 + β2 = α1 + 180° → α2 = α1 + 180° – β2 (2)
α3 + β3 = α2 + 180° → α3 = α2 + 180° – β3 (3)
...............................................................................
αn + βn = αn-1 + 180° → αn = αn-1 + 180° – βn (n)
То есть, дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус угол, лежащий справа по ходу.
Для получения контрольной формулы в выражение (2) подставим значение α1, из выражения (1)
α2 = α0 + 2 ∙ 180° – (β1 + β2).
Если продолжить аналогичные действия для последующих сторон теодолитного хода, то получим
αn = α0 + n ∙ 180° – (β1 + β2 + β3 +... + βn).
или
αn – α0 = n ∙ 180° – ∑β.
или
α0 – αn = ∑β – n ∙ 180°.
Эта формула может служить контрольной при вычислении дирекционных углов по увязанным углам β.
Если же вместо суммы исправленных углов подставить сумму измеренных углов ∑β, то та же формула позволит определить невязку fβ измеренных углов теодолитного хода, если дирекционные углы α0 и αn начальной и конечной сторон хода известны
fβ = ∑β – n ∙ 180° – (α0 – αn).
Иногда дирекционные углы вычисляют по углам, лежащим слева по ходу от А до В (λ1, λ2, …, λn).
β1 = 360° – λ1
β2 = 360° – λ2
........................
βn = 360° – λn
Подставим эти значения в выражения (1), (2),..., (n) получим
α1 = α0 – 180° + λ1
α2 = α1 – 180° + λ2
.................................
αn = αn-1 – 180° + λn.
Для проверки правильности вычисления дирекционных углов по углам λ, лежащим слева по ходу, используют выражения
αn – α0 = ∑λ – n ∙ 180°
или
αn – α0 = ∑λ + n ∙ 180°.
Тогда невязка fβ определяется по формуле
fβ = ∑λ + n ∙ 180° – (αn – α0).
Лекция 3. Геодезическая съемка. Рельеф, его изображение на картах и планах.
Цифровые модели местности
Геодезическая съемка. План, карта, профиль
Чтобы спроектировать линию местности на горизонтальную плоскость, нужно определить её горизонтальное проложение (проекцию линии на горизонтальную плоскость) и уменьшить его до определенного масштаба. Для проектирования на горизонтальную плоскость какого-либо многоугольника (рис. 26) измеряют расстояния между его вершинами и горизонтальные проекции его углов.
Совокупность линейных и угловых измерений на земной поверхности называется геодезической съемкой. По результатам геодезической съемки составляют план или карту.
Рис. 26. Проектирование участка земной поверхности на горизонтальную плоскость
План – чертеж, на котором в уменьшенном и подобном виде изображается горизонтальная проекция небольшого участка местности.
Карта – уменьшенное и искаженное изображение картографической проекции значительной части или всей земной поверхности, построенное по определенным математическим законам, учитывающим влияние кривизны Земли.
Таким образом, и план, и карта – это уменьшенные изображения земной поверхности на плоскости. Различие между ними состоит в том, что при составлении карты проектирование производят с искажениями поверхности за счет влияния кривизны Земли, на плане изображение получают практически без искажений.
В зависимости от назначения планы и карты могут быть контурные и топографические. На контурных планах и картах условными знаками изображают ситуацию, т.е. только контуры (очертания) горизонтальных проекций местных предметов (дорог, строений, пашен, лугов, лесов и т.п.).
На топографических картах и планах кроме ситуации изображают ещё рельеф местности.
Для проектирования железных, шоссейных дорог, каналов, трасс, водопроводов и других сооружений необходимо иметь вертикальный разрез или профиль местности.
Профилем местности называется чертеж, на котором изображается в уменьшенном виде сечение вертикальной плоскостью поверхности Земли по заданному направлению.
Как правило, разрез местности (рис. 27, а) представляет собой кривую линию ABC...G. На профиле (рис. 27, б) она строится в виде ломаной линии abc...g. Уровенную поверхность изображают прямой линией. Для большей наглядности вертикальные отрезки (высоты, превышения) делают крупнее, чем горизонтальные (расстояния между точками).
Рис. 27. Вертикальный разрез (а) и профиль (б) местности