Первообразная.
Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для 
выполняется равенство F’ (x) = f(x).
Таблица первообразных:
| Функция f(x) | Первообразная F(x) |
| 0 | C = const |
| 1 | x + C |
С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если некоторая точка прошла путь S(t), то ее мгновенная скорость 
. Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции S(t), которую называют первообразной функции v(t), т.е. такой функцией, что 
.
Итак, функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для х 
Х выполняется равенство F’ (x) = f(x).
Как следует из определения, операция нахождения первообразной – обратна нахождению производной функции
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v (t)=8t–4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=2c пройденный путь составил 4 м.
Решение:
Воспользуемся определением первообразной, т.к. S(t)=v0t+at2/2
S’(t) = v(t).
Найдем все первообразные S(t)= -4t+4t2 +c.
Подставим t=2c и пройденный путь S=4 м.
4= -8+16+с
С= -4.
Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:
s(t)=4t2–4t–4
Ответ: s(t)=4t2–4t–4
№2. По графику первообразной функции y = F(x) определите количество точек, в которых функция y = f(x) равна нулю.
Решение:
Так как F'(x) = f(x) -по определению первообразной, то точки, в которых функция f(x) (производная функции F(x)) – это точки экстремума функции F(x). А таких точек на графике 4.
Ответ: 4.
№3. По графику первообразной функции y = F(x) определите числовые промежутки, на которых функция y = f(x) имеет отрицательный знак.
Решение:
Так как F’(x) = f(x)- по определению первообразной, то числовые промежутки, на которых функция f(x) (производная функции F(x)) имеет отрицательный знак – это промежутки убывания функции F(x). Таких промежутков на данном графике 2. Это (-2; 1) и (2; 5).
Ответ: (-2; 1); (2; 5).
№4. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x).
Решение:
Доказательство.
F'(x)=(х2-е2х+2)'=2х-2е2х
По определению первообразной, F'(x)=f(x), следовательно, F'(x) и есть первообразная для функции f(x)
№5. Для функции f (x) = х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).
Решение:
Найдем все первообразные функции f (x): 
Найдем число С, такое, чтобы график функции f (x) = х 2 проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10, получим:
10 = (-3)3/3 +с
С=19
Следовательно, 
Ответ:
Правила вычисления первообразной.
Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).
Свойства:
1) 
2) 
3) 
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Для функции y = f(x) найдите множество всех первообразных. Выполните проверку. f(x) = 2sin x + 3x3
Решение:
f(x) = 2sin x + 3x3
Проверка:
Найдем производную функции F(x).
F’(x) = f(x)
Ответ:
№2. Значение первообразной функции F(x) функции f(x) = 10cosx в точке 
равно -4. Найдите 
.
Решение. Сначала найдем первообразную
F(x) = 10sinx+ C
Затем подставляя значения точки х, найдем число с
C = -14
Далее получаем уравнение первообразной в этой точке
F(x) = 10sin x – 14
И находим значение первообразной в другой точке
Ответ: -19
№3. По графику первообразной функции y = F(x) определите числовые промежутки, на которых функция y = f(x) имеет отрицательный знак.
Решение:
Так как F’(x) = f(x)- по определению первообразной, то числовые промежутки, на которых функция f(x) (производная функции F(x)) имеет отрицательный знак – это промежутки убывания функции F(x). Таких промежутков на данном графике 3. Это (-7; -6); (-3; -1); (3;6)
Ответ: (-7; -6); (-3; -1); (3;6)
№4. Значение первообразной функции F(x) функции f(x) = 5x3 – 3x2 + 7x – 2 в точке х = 0 равно 5. Найдите F(2).
Решение.
1. Найдем множество всех первообразных для данной функции.
1. Так как в точке х = 0 значение первообразной функции равно 5, то нам необходимо найти такое значение С, для которого выполняется условие F(0) = 5.
Решим уравнение:
1. Из полученного уравнения находим С = 5.
Следовательно, первообразная для функции f(x) = 5x3 – 3x2 + 7x – 2 при заданном условии F(0) = 5 имеет вид: 
1. Тогда 
F(2) = 27
Ответ: 27