Лекция 1. Алгебра матриц.
Определение матрицы. Линейные операции с матрицами. Умножение матриц. Транспонирование матриц. Блочные матрицы. Элементарные преобразования матриц.
Определение 1.1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.
Обозначения: А – матрица, 
- элемент матрицы, 
номер строки, в которой стоит данный элемент, 
номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.
Определение. Числа m и n называются размерностями матрицы.
Определение. Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.
Определение. Матрицы одинаковой размерности называются равными, если у них соответственно равны элементы, стоящие на одинаковых местах.
Определение. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны 0.
Определение. Квадратная матрица называется единичной, если элементы, стоящие на ее главной диагонали, равны 1, а остальные равны 0.
Линейные операции над матрицами.
1. Сложение матриц.
Определение. Суммой матриц А и В одинаковой размерности m 
n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах: 
Свойства сложения:
1. А + В = В + А.
2. (А + В) + С = А + (В + С).
3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А
Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.
Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.
Пример.
2. Умножение матрицы на число.
Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.
Свойства умножения матрицы на число:
1. (km)A=k(mA).
2. k(A + B) = kA + kB.
3. (k + m)A = kA + mA.
Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.
Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В.
Пример.
. Тогда 
Перемножение матриц.
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.
Определение. Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности 
называется матрица С размерности 
, каждый элемент которой 
определяется формулой: 
Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i-й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример.
.
При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет 
Найдем элементы матрицы С: 
Итак, 
Теорема (без доказательства). Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.
Замечание. Операция перемножения матриц некоммутативна, т.е. 
Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если 
).
Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.
Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают.
Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:
Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А АЕ = ЕА =А.
Определение. Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица АT, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением 
Блочные (клеточные) матрицы и операции над ними
Числовая матрица А размеров т×п, разделенная горизонтальными и вертикальными линиями на блоки (клетки), которые представляют собой матрицы, называется блочной (клеточной) матрицей. Элементами блочной матрицы А являются матрицы Аij размерностей mi×nj, i =1,2,… p, j =1,2,… q, причем 
и 
.
Операции с блочными матрицами выполняются по тем же правилам, что и с числовыми матрицами. Если числовые матрицы A и B равных размерностей одинаково разбиты на блоки 
и, 
то их сумму 
можно аналогичным образом разбить на блоки 
, причем для каждого блока 
. Если блочную матрицу умножить на число λ, то получим матрицу 
. При транспонировании блочной матрицы транспонированию подлежит блочная структура и все ее блоки, например
