В III веке нашей эры греческий математик Диофант не только знал, что число 65 представимо двумя способами, но и объяснял это тем, что 65 является произведением чисел 13 и 5, каждое из которых — сумма двух квадратов. Комплексных чисел Диофант не знал, иначе он непременно выписал бы разложения 5 = (2 + i)(2 - i), 13 = (3 + 2i)(3 - 2i и продолжил бы свои объяснения следующим образом:
65 = (2 + i)(3 + 2i) . (2 - i)(3 - 2i) = (4 + 7i) . (4 - 7i) =
= 42 + 72 = (2 + i)(3 - 2i) . (2 - i)(3 + 2i)=
= (8 - i) . (8 + i) = 82 + 12.
По-разному группируя множители, получаем два разных разложения!
Следующий пример — число 25. 25 — наименьшее число, двумя способами представимое в виде суммы квадратов двух целых чисел. Оба эти разложения легко получить, по- разному группируя множители:
25 = (2 + i)2 . (2 - i)2 = (3 + 4i) . (3 - 4i) =
= 32 + 42 = (2 + i)(2 - i) . (2 + i)(2 - i) =
= 5 . 5 = 52 + 02.
Последний пример — число 5746. Как мы хорошо знаем, всякому представлению 5746 = a2 + b2 соответствует разложение 5746 = (a + bi)(a - bi) на сопряженные множители. Поэтому разложим рассматриваемое число сначала на простые натуральные, а затем и на простые гауссовы множители:
5746 = 2 . 132 . 17 = (1 + i)(1 - i)(3 + 2i)2(3 - 2i)2(4 + i)(4 - i).
Теперь мы должны из нескольких этих множителей составить a + bi, да так, чтобы произведение остальных множителей равнялось a - bi. Это нетрудно сделать:
a + bi = (1 + i)(3 + 2i)2(4 + i) = -45 + 61i,
a - bi = (1 - i)(3 - 2i)2(4 - i) = -45 - 61i.
При этом, разумеется, 452 + 612 = 2025 + 3721 = 5746. Легко найти и еще два варианта:
a + bi = (1 + i)(3 + 2i)(3 - 2i)(4 + i) = 39 + 65i
или
a + bi = (1 + i)(3 - 2i)2(4 + i) = 75 - 11i.
Они приводят к представлениям 392 + 652 = 1521 + 4225 = 5746 и 752 + 112 = 5625 + 121 = 5746. Никаких других представлений нет
Аналогично можно найти число представлений в виде суммы двух квадратов любого натурального числа 
где p1,..., pr — попарно различные простые числа, каждое из которых дает остаток 1 при делении на 4, Q — число, не имеющее простых делителей кроме тех, которые дают остаток 3 при делении на 4. А именно, если Q не является точным квадратом, то n не представимо в виде суммы двух квадратов; если же Q — точный квадрат, то, применив необходимое число раз теорему 2, получаем: количество представлений числа n в виде суммы двух квадратов равно количеству представлений числа 
в виде суммы двух квадратов. Формулу для этого количества нашел немец Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859).
Итак, количество представлений числа m в виде суммы квадратов двух целых чисел равно [((a1 + 1).... .(ar + 1) + 1)/2]. (Если число сомножителей равно О, то произведение считается равным 1. Представления, отличающиеся порядком слагаемых, не различаются.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЛА В ВИДЕ 
Теорема: положительное нечетное число представимо в виде 
тогда и только тогда, когда каноническое разложение данного числа не содержит простых чисел р вида 8n+5 и 8n+7. Данная теорема представима в виде уравнения: 
= N, где N-положит. нечетное число. (1)
Число таких представлений равно 2v, где v-число решений сравнения
(2)
Доказательство. Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8n+5 и 8n+7, то сравнение (2) имеет решения, т.е. v<>0 (не равно нулю). Тогда получаем, что число форм {N, B, C} с дискриминантом D=-8, таких, что 0 
B<2N, равно v.
Далее докажем, что все формы с дискриминантом D=-8 эквивалентны форме {0, 1, 2}.
Действительно если у приведенной положительно определенной формы {a,b,c} дискриминант D= 
=-8, то, поскольку 
, имеем 
, т.е. ac=2, a=1, c=2, b=0.
Таким образом, при D=-8, так же как при D=-4 и при D=-3 имеется один класс положительно определенных форм. Для каждой из v форм вида {a,b,c} существуют два унимодулярных линейных преобразования, переводящих {a,b,c} в {N, B, C}, и тогда получаем, что уравнение (1) имеет 2v решений с взаимно простыми значениями x, y. Число решений сравнения (2) определяется теоремой. Согласно этой теореме, если N= 
где все 
—простые числа вида 8+1 и 8n+3, то v= 
и число представлений N в виде (1) равно 
. В частности, отсюда вытекает, что любое простое число р вида 8n+1 или 8n+3 единственным образом может быть представлено в виде суммы квадрата и удвоенного квадрата натуральных чисел.
Примечание. При четном N=2 
могут быть два случая:
1) Если нечетное, то, заменяя в уравнении (1) x через 2 
и сокращая на 2, мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в вышеуказанной теореме.
2) Если четно, т. е. 4 
,то из равенства (1) следует 2\х, 2\у, т. е. не существует решений уравнения (1) с взаимно простыми x и y.
Число решений уравнений (1) и 
, рассмотренного в первой части реферата, было легко определить благодаря тому, что для дискриминантов D=-4 и D=-8 существует всего только по одному классу квадратичных форм. Легко видеть, что если {a,b,c} —положительно определенная форма с взаимно простыми a,b,c и если существует только один класс примитивных форм с дискриминантом D= , то можно определить число собственных решений уравнения:
=N. Известно, что для следующих значений -D 
100:
-D=3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67
существует только по одному классу таких квадратичных форм.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На Рождество 1640 года в письме от 25 декабря Пьер Ферма извещал знаменитого Мерсенна, друга Декарта и главного посредника в переписке ученых того времени, о том, что "всякое простое число, которое при делении на четыре дает единицу, единственным способом представимо как сумма двух квадратов".
В ту пору математических журналов еще не существовало, информацией обменивались в письмах, и как правило, результаты лишь анонсировались, но не сопровождались детальными доказательствами.
Правда, спустя почти двадцать лет после письма Мерсенну в письме к Каркави, отправленном в августе 1659 года, Ферма приоткрывает замысел доказательства описанной выше теоремы. Он пишет, что основная идея доказательства состоит в методе спуска, позволяющем из предположения, что для какого-то простого числа вида 4n+1 заключение теоремы неверно, получить, что оно неверно и для меньшего числа того же и т. д., пока мы не доберемся до числа 5, когда окончательно придем к противоречию.
Первые доказательства, которые впоследствии были опубликованы, найдены Эйлером между 1742 и 1747 годами. Причем, желая утвердить приоритет Ферма, к которому он испытывал чувства глубочайшего уважения, Эйлер придумал доказательство, соответствующее описанному выше замыслу Ферма.
Воздавая должное обоим великим ученым, мы называем эту теорему теоремой Ферма-Эйлера.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Бухштаб А.А. Теория чисел.-М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960.- 375 с.
2. https://www.cryptography.ru
3. https://mech.math.msu.su
4. https://courier.com.ru