Задание 5. Найти неопределенные интегралы

Решение

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Примем за

Найдем дифференциал функции u:

По dv найдем функцию v:

(одна из первообразных; постоянную «с » не прибавляем)

Итак, Полученный интеграл найдем, применяя метод замены переменной (формула (*))

Применили формулу таблицы основных интегралов

Итак,

Ответ:

Задание 6. Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций и

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой надо найти, на координатной плоскости. Графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем производную функции . Находим координаты вершины параболы С:

Точки пересечения параболы с осями координат:

С осью ох:

;

;

C осью о у: х=0;

Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам с координатами

Рисунок 2 – К задаче №6

Найдем точки пересечения графиков функций

;

Площадь S фигуры ABC, ограниченной графиками функций, находим по формуле .

Где для всех

Так как при , то

Ответ

Задание 7. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию:

Решение

1) Разделим обе части уравнения на

- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого

Общее решение данного уравнения найдем в виде – неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.

2) , получаем уравнение:

; (*)

3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

, разделим переменные

Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:

, так как

, полагаем с =0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно

4) Подставим в уравнение

; ; - разделим переменные

, интегрируем обе части равенства:

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.Итак,

5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постоянной с по начальному условию, данному в задании.

при , получаем равенство

, так как , то .

Следовательно,

Ответ:

Задание 8. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям

Решение

1) Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ):

Характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни.

- мнимая единица

Общее решение ЛОДУ:

2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид – многочлен второй степени, е^ах показательная функция отсутствует, то есть а =0 – не является корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами:

Подставим в данное ЛНДУ уравнение:

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x, находим:

Отсюда , поэтому общее решение ЛНДУ имеет вид

3) Находим частное решение ЛНДУ, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задании:

Ответ:

Задание 9. Исследовать ряд на сходимость

Напомним, что число n! (читается «эн-факториал» – это произведение всех натуральных чисел от единицы до n:

При вычислениях с факториалами представляется важными следующие соображения:

и т.д.

Признак Даламбера. Если существует предел , то числовой ряд сходится при q <1, и расходится при q >1.

Решение

, найдем

Составим отношение: следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится

Задание 10. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение

Каждый степенной ряд сходится внутри интервала

- радиус сходимости, определяемый по формуле , 0!=1 и 1!=1

Определяем радиус сходимости данного степенного ряда.

Так как то

Интервал сходимости (-1; 7)

Ответ: R =4; (-1; 7)