Симметрические многочлены

Пусть f (x ₁, …, x_n) – многочлен от n переменных. Для его членов вводится лексикографическое упорядочивание: выше (записывается ≻ ), если для некоторого 1 £ i £ n имеем a₁ = b₁, …, a _{i -1}= b _{i -1}, a _i< b _i. На основании этого упорядочивания у многочлена всегда можно выделить высший член. Степенью члена называется число a₁+ … +a _n. Степенью многочлена называется максимальная из степеней его членов (при условии, что приведены подобные члены). Многочлен называется однородным, если все его члены одной степени.

Пример 4.1. Расположите следующие члены в порядке их лексикографического убывания: х ₁² х ₂ х ₃³, х ₁³ х ₃, х ₂⁴ х ₃², х ₃³.

Решение. Согласно определению, имеем х ₁³ х ₃≻ х ₁² х ₂ х ₃³≻ х ₂⁴ х ₃²≻ х ₃³.

Многочлен f (x ₁, …, x_n) называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке переменных.

У высшего члена симметрического многочлена показатели при переменных расположены в порядке нестрогого убывания.

Пример 4.2. Высший член симметрического многочлена от трех переменных есть х ₁⁴ х ₂. Выпишите в порядке лексикографического убывания все возможные высшие члены симметрических многочленов, которые ниже данного и имеют ту же степень.

Решение. Степени членов равны 5. Последовательности показателей при переменных у них не возрастают. Поэтому, чтобы получить следующий возможный высший член, мы можем уменьшить на 1 показатель только у х ₁. Получим х ₁³, и независимо от показателей при остальных переменных полученный член будет ниже предыдущего. Поэтому присваиваем х ₂ максимально возможную степень, исходя из того, что она не выше, чем у х ₁, и суммарная степень равна 5. Получаем член х ₁³ х ₂². Для следующего члена есть возможность уменьшить на 1 показатель у х ₂, перекинув эту единицу к х ₃. Получаем член х ₁³ х ₂ х ₃. Больше уменьшать показатель у х ₂ нельзя, так как тогда увеличится показатель у х ₃, и последовательность показателей будет иметь возрастание. Значит, опять уменьшаем на 1 показатель у х ₁, расставляя показатели при х ₂ и х ₃, как описано выше. Получаем член х ₁² х ₂² х ₃, который понизить уже невозможно. В итоге получаем х ₁⁴ х ₂≻ х ₁³ х ₂²≻ х ₁³ х ₂ х ₃≻ х ₁² х ₂² х ₃.

Элементарными симметрическими многочленами от n переменных x ₁, …, x_n называются многочлены

s₁ = x ₁+ … + x_n;

s₂ = x ₁ x ₂+ x ₁ x ₃ +… + x_{n -1} x_n;

……………………………..

;

……………………………..

s _n = x ₁… x_n.

Теорема 4.1. Любой симметрический многочлен над кольцом К от n переменных можно представить как многочлен над К от элементарных симметрических многочленов.

Пример 4.3. Выразить многочлен f = x ₁³ + x ₂³ + x ₃³ – x ₁ x ₂ x ₃ через элементарные симметрические многочлены.

Решение. Многочлен является однородным. Его высший член есть x ₁³. Для него последовательность показателей при переменных x ₁, x ₂, x ₃ есть 3, 0, 0. Выписываем в столбец последовательности показателей, соответствующие всем возможным более низким высшим членам той же степени, определенным как в примере 4.2. Для каждой такой последовательности a₁, a₂, a₃ строим выражение . Оформляем это следующим образом:

3 0 0 s₁^3–0s₂^0–0s₃⁰ = s₁³;

2 1 0 s₁^2–1s₂^1–0s₃⁰ = s₁s₂;

1 1 1 s₁^1–1s₂^1–1s₃¹ = s₃.

Искомое выражение является суммой построенных, взятых с некоторыми коэффициентами. Первый коэффициент равен коэффициенту при высшем члене x ₁³ исходного многочлена, а остальные найдем методом неопределенных коэффициентов. Имеем

f = s₁³ + a s₁s₂ + b s₃.

Для нахождения а и b подставляем в получившееся равенство некоторые наборы значений переменных x ₁, x ₂, x ₃ и получаем уравнения, в которых а и b являются неизвестными.

1) x ₁ = x ₂ = 1, x ₃ = 0, тогда f = 2, s₁ = 2, s₂ = 1, s₃ = 0. Получаем уравнение 2 = 8 + 2 a, откуда а = –3.

2) x ₁ = x ₂ = x ₃ = 1, тогда f = 2, s₁ = 3, s₂ = 3, s₃ = 1. Получаем уравнение 2 = 27 – 27 + b, откуда b = 2.

Ответ: f = s₁³ – 3s₁s₂ + 2s₃.

Упражнение 4.1. Выразите через элементарные симметрические многочлены:

а) f = x ₁³ x ₂ + x ₁³ x ₃+ x ₁ x ₂³+ x ₁ x ₃³+ x ₂³ x ₃+ x ₂ x ₃³;

б) f = x ₁⁴ + x ₂⁴ + x ₃⁴ –2 x ₁² x ₂² –2 x ₁² x ₃²–2 x ₂² x ₃²;

в) f = (x ₁² + x ₂²)(x ₁² + x ₃²)(x ₂² + x ₃²).

Теорема 4.2 (Виет). Пусть многочлен n -ой степени f = xⁿ+a ₁ x^{n -1}+…+ a_n над полем F имеет n корней a₁, …, a _n (взятых с учетом кратности). Тогда корни и коэффициенты многочлена связаны соотношениями

a_i = (–1) ⁱ s _i (a₁, …, a _n), i = 1, …, n,

где s _i (a₁, …, a _n) – элементарные симметрические многочлены от корней многочлена.

Упражнение 4.2. Найдите сумму кубов корней (комплексных) многочлена f = x ³ + 2 x ² – 3 x – 1.