Пусть f (x 1, …, xn) – многочлен от n переменных. Для его членов вводится лексикографическое упорядочивание: 
выше 
(записывается ≻ ), если для некоторого 1 £ i £ n имеем a1 = b1, …, a i -1= b i -1, a i< b i. На основании этого упорядочивания у многочлена всегда можно выделить высший член. Степенью члена называется число a1+ … +a n. Степенью многочлена называется максимальная из степеней его членов (при условии, что приведены подобные члены). Многочлен называется однородным, если все его члены одной степени.
Пример 4.1. Расположите следующие члены в порядке их лексикографического убывания: х 12 х 2 х 33, х 13 х 3, х 24 х 32, х 33.
Решение. Согласно определению, имеем х 13 х 3≻ х 12 х 2 х 33≻ х 24 х 32≻ х 33.
Многочлен f (x 1, …, xn) называется симметрическим, если он не изменяется при любой перестановке переменных.
У высшего члена симметрического многочлена показатели при переменных расположены в порядке нестрогого убывания.
Пример 4.2. Высший член симметрического многочлена от трех переменных есть х 14 х 2. Выпишите в порядке лексикографического убывания все возможные высшие члены симметрических многочленов, которые ниже данного и имеют ту же степень.
Решение. Степени членов равны 5. Последовательности показателей при переменных у них не возрастают. Поэтому, чтобы получить следующий возможный высший член, мы можем уменьшить на 1 показатель только у х 1. Получим х 13, и независимо от показателей при остальных переменных полученный член будет ниже предыдущего. Поэтому присваиваем х 2 максимально возможную степень, исходя из того, что она не выше, чем у х 1, и суммарная степень равна 5. Получаем член х 13 х 22. Для следующего члена есть возможность уменьшить на 1 показатель у х 2, перекинув эту единицу к х 3. Получаем член х 13 х 2 х 3. Больше уменьшать показатель у х 2 нельзя, так как тогда увеличится показатель у х 3, и последовательность показателей будет иметь возрастание. Значит, опять уменьшаем на 1 показатель у х 1, расставляя показатели при х 2 и х 3, как описано выше. Получаем член х 12 х 22 х 3, который понизить уже невозможно. В итоге получаем х 14 х 2≻ х 13 х 22≻ х 13 х 2 х 3≻ х 12 х 22 х 3.
|
|
Элементарными симметрическими многочленами от n переменных x 1, …, xn называются многочлены
s1 = x 1+ … + xn;
s2 = x 1 x 2+ x 1 x 3 +… + xn -1 xn;
……………………………..
;
……………………………..
s n = x 1… xn.
Теорема 4.1. Любой симметрический многочлен над кольцом К от n переменных можно представить как многочлен над К от элементарных симметрических многочленов.
Пример 4.3. Выразить многочлен f = x 13 + x 23 + x 33 – x 1 x 2 x 3 через элементарные симметрические многочлены.
Решение. Многочлен является однородным. Его высший член есть x 13. Для него последовательность показателей при переменных x 1, x 2, x 3 есть 3, 0, 0. Выписываем в столбец последовательности показателей, соответствующие всем возможным более низким высшим членам той же степени, определенным как в примере 4.2. Для каждой такой последовательности a1, a2, a3 строим выражение 
. Оформляем это следующим образом:
3 0 0 s13–0s20–0s30 = s13;
2 1 0 s12–1s21–0s30 = s1s2;
1 1 1 s11–1s21–1s31 = s3.
Искомое выражение является суммой построенных, взятых с некоторыми коэффициентами. Первый коэффициент равен коэффициенту при высшем члене x 13 исходного многочлена, а остальные найдем методом неопределенных коэффициентов. Имеем
f = s13 + a s1s2 + b s3.
|
|
Для нахождения а и b подставляем в получившееся равенство некоторые наборы значений переменных x 1, x 2, x 3 и получаем уравнения, в которых а и b являются неизвестными.
1) x 1 = x 2 = 1, x 3 = 0, тогда f = 2, s1 = 2, s2 = 1, s3 = 0. Получаем уравнение 2 = 8 + 2 a, откуда а = –3.
2) x 1 = x 2 = x 3 = 1, тогда f = 2, s1 = 3, s2 = 3, s3 = 1. Получаем уравнение 2 = 27 – 27 + b, откуда b = 2.
Ответ: f = s13 – 3s1s2 + 2s3.
Упражнение 4.1. Выразите через элементарные симметрические многочлены:
а) f = x 13 x 2 + x 13 x 3+ x 1 x 23+ x 1 x 33+ x 23 x 3+ x 2 x 33;
б) f = x 14 + x 24 + x 34 –2 x 12 x 22 –2 x 12 x 32–2 x 22 x 32;
в) f = (x 12 + x 22)(x 12 + x 32)(x 22 + x 32).
Теорема 4.2 (Виет). Пусть многочлен n -ой степени f = xn+a 1 xn -1+…+ an над полем F имеет n корней a1, …, a n (взятых с учетом кратности). Тогда корни и коэффициенты многочлена связаны соотношениями
ai = (–1) i s i (a1, …, a n), i = 1, …, n,
где s i (a1, …, a n) – элементарные симметрические многочлены от корней многочлена.
Упражнение 4.2. Найдите сумму кубов корней (комплексных) многочлена f = x 3 + 2 x 2 – 3 x – 1.