Определение перемещений с помощью тригонометрических рядов




 

Внешнюю нагрузку, приложенную к кольцу, представим в виде ряда:

 

. (2.14)

 

Коэффициенты ряда (2.14) определяются при интегрировании левой и правой его частей в пределах от 0 до :

 

Таблица 2.1 – Безразмерные силовые факторы и перемещения для кольца

φ, ° Q M N v w
0.00 0.0000 0.1271 -0.3579 0.0000 -0.0346
10.00 -0.1118 0.1173 -0.3628 0.0059 -0.0322
20.00 -0.2218 0.0882 -0.3776 0.0110 -0.0253
30.00 -0.3285 0.0401 -0.4022 0.0145 -0.0149
40.00 -0.2563 -0.0110 -0.4215 0.0161 -0.0029
50.00 -0.1825 -0.0493 -0.4206 0.0156 0.0088
60.00 -0.1106 -0.0748 -0.4006 0.0131 0.0189
70.00 -0.0437 -0.0882 -0.3637 0.0091 0.0261
80.00 0.0155 -0.0905 -0.3124 0.0042 0.0299
90.00 0.0648 -0.0833 -0.2500 -0.0011 0.0300
100.00 0.1024 -0.0686 -0.1800 -0.0061 0.0268
110.00 0.1274 -0.0483 -0.1061 -0.0103 0.0206
120.00 0.1394 -0.0249 -0.0324 -0.0132 0.0124
130.00 0.1389 -0.0004 0.0375 -0.0145 0.0030
140.00 0.1267 0.0229 0.1001 -0.0142 -0.0065
150.00 0.1045 0.0433 0.1522 -0.0123 -0.0151
160.00 0.0744 0.0590 0.1914 -0.0090 -0.0219
170.00 0.0386 0.0689 0.2157 -0.0048 -0.0263
180.00 0.0000 0.0723 0.2239 0.0000 -0.0278
190.00 -0.0386 0.0689 0.2157 0.0048 -0.0263
200.00 -0.0744 0.0590 0.1914 0.0090 -0.0219
210.00 -0.1045 0.0433 0.1522 0.0123 -0.0151
220.00 -0.1267 0.0229 0.1001 0.0142 -0.0065
230.00 -0.1389 -0.0004 0.0375 0.0145 0.0030
240.00 -0.1394 -0.0249 -0.0324 0.0132 0.0124
250.00 -0.1274 -0.0483 -0.1061 0.0103 0.0206
260.00 -0.1024 -0.0686 -0.1800 0.0061 0.0268
270.00 -0.0648 -0.0833 -0.2500 0.0011 0.0300
280.00 -0.0155 -0.0905 -0.3124 -0.0042 0.0299
290.00 0.0437 -0.0882 -0.3637 -0.0091 0.0261
300.00 0.1106 -0.0748 -0.4006 -0.0131 0.0189
310.00 0.1825 -0.0493 -0.4206 -0.0156 0.0088
320.00 0.2563 -0.0110 -0.4215 -0.0161 -0.0029
330.00 0.3285 0.0401 -0.4022 -0.0145 -0.0149
340.00 0.2218 0.0882 -0.3776 -0.0110 -0.0253
350.00 0.1118 0.1173 -0.3628 -0.0059 -0.0322
360.00 0.0000 0.1271 -0.3579 0.0000 -0.0346

 

;

; ;

; .

;

;

;

;

.

 

В результате ряд для принимает вид:

 

. (2.15)

 

Дифференциальное уравнение для перемещения v имеет вид [1, с. 108]:

 

. (2.16)

 

Перед слагаемым стоит знак «–», так как погонные нормальные силы , направлены в сторону, противоположную принятому при выводе этого уравнения положительному направлению для .

Подставляя в уравнение (2.16)

 

,

,

 

получим:

 

. (2.17)

 

Подставив в это уравнение выражение для перемещения v в виде ряда

 

 

и приравняв коэффициенты при соответствующих функциях в уравнении

 

,

 

получим:

 

;

. (2.18)

 

Из условия нерастяжимости кольца

 

;

. (2.19)

 

Представим эти перемещения в безразмерном виде

 

и .

 

Окончательно

 

(2.20)

 

Эпюры безразмерных перемещений и форму деформированного кольца построим с помощью пакета MathCAD (приложение 4). Результаты приведены в таблице 2.1 и представлены на рисунках 2.2 и 2.3.

 

Определение размеров поперечного сечения шпангоута

 

Выберем [3, с. 304] поперечное сечение шпангоута в виде двутаврового профиля (рисунок 2.4). Определим размеры этого сечения, если кольцо изготовлено из сплава В95 [2, с. 43], для которого с учетом коэффициента запаса

 

Рисунок 2.3 – Форма деформированного кольца


Рисунок 2.4 – Геометрические параметры сечения шпангоута

 

по пределу текучести () допускаемые напряжения . Расчет проведем для сечения шпангоута при (приложение 5). Здесь

 

;

;

.

 

Задаемся [3, с. 306]:

 

; ;

; .

 

Площадь сечения шпангоута

 

;

,

 

расстояние до нейтральной оси

 

;

,

 

собственный момент инерции сечения

 

;

.

 

Напряжения в наружной полке

 

, (2.21)

 

во внутренней полке

 

. (2.22)

 

M и N подставляются в формулы (2.21) и (2.22) с теми знаками, которые получаются при их вычислении.

Назначим толщину стенки и найдем .

Теперь толщина и ширина полок:

 

; ; .

 

Сечение шпангоута в масштабе 1:1 изображено на рисунке 2.5.

Нормальные напряжения в полках:

 

; .

 

Определим максимальные касательные напряжения в стенке шпангоута для сечения при ():

 

. (2.23)

 

Статический момент части площади сечения, расположенной выше нейтральной оси, относительно этой оси

 

;

.

 

После расчета получим

 

.

 

Рисунок 2.5 – Сечение шпангоута в масштабе 1:1



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-11-01 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: