Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Системы счисления

Система счисления – символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен.

Каждая позиционная система счисления определяется некоторым целым числом (т. н. основание системы счисления) таким, что b единиц в каждом разряде объединяется в одну единицу следующего по старшинству разряда.

Целое число x в показательной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

,

(1.1)

где – это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству ;

– основание системы счисления;

– число разрядов.

Каждая степень b^k в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k.

Перевод произвольной позиционной системы счисления в десятичную

Если число в b-ричной системе счисления равно , то для перевода в десятичную систему вычисляется сумма:

,

(1.2)

где – основание системы счисления, из которой осуществляется перевод.

Перевод из десятичной в произвольную позиционную систему счисления

Для перевода необходимо делить число с остатком на основание системы счисления до тех пор, пока частное больше основания.

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Для этого типа операций существует упрощенный алгоритм.

Для восьмеричной – разбиваем число на триплеты, начиная с младшего разряда, преобразуем триплеты по таблице 1.1.

Таблица 1.1 – Перевод числа из двоичной в восьмеричную систему счисления

Для шестнадцатеричной – разбиваем на квартеты, начиная с младшего разряда, преобразуем по таблице 1.2.

Таблица 1.2 – Перевод числа из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления

Перевод дробных чисел из произвольной системы счисления в десятичную

Если число в b-ричной системе счисления записано в виде , то для перевода в десятичную систему вычисляется сумма:

.

(1.3)

Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в произвольную

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

В общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой – тем точнее приближение результата перевода к истине.

Операции с числами в произвольных системах счисления

Сложение и вычитание

Как в десятичной, так и в любой другой системе при сложении складываются сначала единицы, затем переходят к следующему разряду и т.д. до тех пор, пока не доходят до самого старшего из имеющихся разрядов. При этом необходимо помнить, что всякий раз, когда при сложении в предыдущем разряде получается сумма больше, чем основание системы счисления, или равная ему, надо сделать перенос в следующий разряд.

Вычитание выполняется аналогичным образом. При заеме из старшего разряда, величина заема равна основанию системы счисления.

Умножение

Для умножения чисел в различных системах счисления удобно пользоваться таблицами умножения. В каждой клетке такой таблицы стоит произведение чисел, представляющих собой номера строки и столбца, на пересечении которых стоит клетка.

Таблица 1.3 – Таблица умножения для двоичных чисел

Таблица 1.4 – Таблица умножения шестнадцатеричных чисел

Пользуясь такими таблицами, легко перемножить «столбиком» числа, содержащие любое количество разрядов.