Алгоритм решения задач по молекулярно-кинетической теории газов

Тема: Молекулярно-кинетическая теория газов

Практическое занятие №1

Цель: рассмотреть механизм и алгоритм решения задач молекулярно-кинетической теории газов.

Основные формулы и определения

Наименьший размер молекулы – порядка м, а наименьшая масса молекулы – 10–27кг.

1. Количество вещества n (ню), моль. Один моль содержит Постоянную Авогадро молекул или атомов.

n = N/NА = m / М, гдеN — число молекул вещества, m — масса газа.

2.Постоянная Авогадро NA= 6,02. 1023 моль-1 — число молекул в одном моле.

3.Молярная масса M, кг/моль – это масса одного моля.

Определяется по таблице Менделеева, например Мо2=32.10–3 кг/моль.

Масса молекулы m0 = M / NA, где m0 — масса одной молекулы (атома).

Молярная масса вещества

M=m/ v,

где m — масса однородного тела (системы); v — количество вещества этого тела.

4. Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой M r вещества

M= M rk,

где k=10-3 кг/моль.

5.Термодинамические параметры P, V, T — Определяют состояние вещества. P,Па — давление; V, м3 — объем; T,К (кельвин) — абсолютная (термодинамическая) температура T,K = 273 + t0C.

6.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление газа с массой и средней квадратичной скоростью молекулы.

n = N/V — концентрация молекул, N — число молекул,

Vср — средняя квадратичная скорость молекулы.

7.Физический смысл температуры. Абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии молекул.

8.Средняя кинетическая энергия одноатомной молекулы ,

kb = R/NA= 1,38.10 –23 Дж/К — постоянная Больцмана,

R = 8,31 Дж / моль×К — универсальная газовая постоянная.

9.Средняя квадратичная скорость молекул газа пропорциональна корню из абсолютной температуры .

10.Уравнение состояния идеального газа (Менделеева - Клапейрона) связывает термодинамические параметры для любого состояния идеального газа:

R = 8,31 Дж /К моль — универсальная газовая постоянная.

11.Уравнение Клапейрона. Равенство выполняется при постоянной массе газа:

1 — первое 2 — второе состояние газа.

12. Закон Дальтона

p = p 1+ p 2+…+ p k,

13.Изохорный процесс (V=const) происходит при постоянном объеме и массе газа. Давление растет пропорционально абсолютной температуре — закон Шарля.

14.Изобарный процесс (P= const) происходит при постоянном давлении и массе газа. Объем растет пропорционально абсолютной температуре —закон Гей-Люссака.

15.Изотермический процесс (T= const) происходит при постоянной температуре и массе газа. Давление уменьшается с увеличением объема — закон Бойля–Мариотта.

Алгоритм решения задач по молекулярно-кинетической теории газов

А.Исследование задачи:

Переписать условие.

Записать краткое условие, выразив все величины в единицах СИ.

В. Физическая часть решения:

Если газ не меняет своего состояния или меняется его масса, то, для определения его параметров, следует использовать уравнение Менделеева – Клапейрона.

Если даны два состояния и масса газа не меняется, то можно использовать уравнение Клапейрона или уравнение изопроцесса.

Если даны два состояния и масса газа меняется, то надо записать уравнение Менделеева – Клапейрона для каждого состояния.

Ненасыщенный пар подчиняется всем законам идеального газа, насыщенный ‑ уравнению Менделеева – Клапейрона.

Пункты С.D.E. совпадают с обычным алгоритмом.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить молярную массу М углекислого газа СО2.

Решение. Молярную массу данного вещества можно определить по формуле

M= M rk, (1) где M r — относительная молекулярная масса вещества; k=10-3 кг/моль.

Относительную молекулярную массу найдем из соотношения

, (2)

где пi — число атомов i -го химического элемента, входящих в молекулу данного вещества; A r, i — относительная атомная масса i -го химического элемента.

В нашем случае для углекислого газа формула (2) примет вид

M r =n C A r,C +n O A r,O (3) где n C=1 (число атомов углерода в молекуле углекислого газа); n O=2 (число атомов кислорода в той же формуле); A r,C и A r,O — относительные атомные массы углерода и кислорода.

По таблице Д. И. Менделеева найдем

A r,C=12, A r,O=16.

После подстановки в формулу (3) значений n C, n O, A r,C, и A r,Oполучим

M r = 1*12+2*16=44.

Подставив это значение относительной молекулярной массы, а также значение k в формулу (1), найдем молярную массу углекислого газа:

M =44*10-3 кг/моль =4,410-2 кг/моль.

Пример 2. Найти молярную массу М смеси кислорода массой m1=25 г и азота массой m2=75 г.

Решение. Молярная масса смеси М см есть отношение массы смеси т см к количеству вещества смеси v см т. е.

M см=mсм/ v см. (1)

Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси mсм=m1+m2. Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компонентов.

Подставив в формулу (1) выражения mсм и v см, получим

Применив способ, использованный в примере 1, найдем молярные массы M 1 кислорода и М 2, азота:

M 1 =3210-3 кг/моль, М 2=2810-3 кг/моль. Подставим значения величин во (2) и произведем вычисления:

Пример 3. Определить: 1) число N молекул воды, занимающей при температуре t = 4°C объем V= 1 мм3; 2) массу m1 молекулы воды.

Решение. 1. Число N молекул, содержащихся в теле некоторой массы m, равно произведению постоянной Авогадро n a на количество вещества v: n = n a v. Так как v =m/ M, где М — молярная масса, то N=( m /M)n a. Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

N=( V /M) n a. (1)

Зная химическую формулу воды (Н2О), найдем молярную массу воды (см. пример 1):

M= M rk = (2*1+1*16)*10-3 кг/моль=18*10-3 кг/моль. Подставим значения величин в (1) и произведем вычисления:

N= [1*103*1*10-9/(18*10-3)] 6,02*1023 молекул=3,34.1019 молекул.

2. Массу одной молекулы воды найдем делением ее молярной массы на постоянную Авогадро: m1= M / n a Произведя вычисления по этой формуле, получим

Пример 4. Определить число n молекул, содержащихся в объеме V = 1 мм3 воды и массу m0 молекулы воды.

Решение:

Число молекул n, содержащихся в теле некоторой массы m:

, где  - молярная масса. Так как , где  - плотность воды, то: .

Расчет в СИ: V = 10-9 м3;  = 103 ; NA = 6,021023 ;  = 1810-3 ; n = молекул.

m0 подсчитываем по формуле (3) ; .

Пример 5. Определить число молекул содержащихся в 10 г азота.

Решение:

Расчет в СИ:

m = 10 г = 10-2 кг;  = 2810-3 ; NA = 6,021023 ; молекул.

Пример 6. Чему равна масса молекулы водорода, если его молярная масса M =2 г/моль?

Решение

В одном моле содержится постоянная Авогадро молекул, поэтому: .

Вычисления .

Ответ: .

Пример 7. Какое количество атомов содержится в 2,7 кг алюминия? Молярная масса алюминия m = 27 г/моль. Молекула алюминия состоит из одного атома.

Решение

Количество вещества можно определить по формулам

Ответ: .

Пример 8.

Найти среднеквадратичную скорость молекул идеального газа, если его плотность равна 3 кг/м3, а давление – 1 МПа.

Решение

Воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории: , где n = N/V — концентрация молекул,. V ср — средняя квадратичная скорость молекулы, N — число молекул, объем газа, масса молекулы. Тогда, , масса газа, , получаем:

Ответ:

Пример 9

Найти среднеквадратичную скорость молекул водорода при температуре 17°С. Молярная масса водорода М = 2 г/моль.

Воспользоваться формулой .

Ответ: .

Пример 10

Найти концентрацию молекул кислорода при давлении 0,2 МПа, если среднеквадратичная скорость его молекул 700 м/с. Молярная масса кислодорода М = 32 г/моль.

Решение

Воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории: . В одном моле содержится постоянная Авогадро молекул, поэтому:

Подставляя в , получаем .

Ответ: .

Пример 11.

Найти среднюю кинетическую энергию молекулы одноатомного газа при давлении

20 кПа и концентрации молекул 3×1025 м –3.

Решение

Воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории: . Уравнение можно записать в виде или , где — средняя кинетическая энергия молекулы.

Тогда, .

Ответ: .

Пример 12.

Найти среднюю кинетическую энергию молекулы одноатомного газа при температуре 27°С.

Решение

Абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекулы:

, где — постоянная Больцмана. .

Ответ: .

Пример 13

Какой объем занимает 10 моль идеального газа при давлении 10 МПа и температуре 27°С?

Решение

Воспользуемся уравнением Менделеева – Клапейрона , где ‑

универсальная газовая постоянная.

Ответ: V= 2,5 л.

Пример 14

Какое количество вещества содержится в 49 л газа при давлении 200 кПа и температуре 240 К?

Решение

Воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона

Ответ: моль.

Пример 15

Имеется 12 л углекислого газа при давлении 900 кПа и температуре 127°С. Найти массу газа. Молярная масса углекислого газа М=44 г/моль.

Решение

Воспользуемся уравнением Менделеева–Клапейрона:

, где

‑ универсальная газовая постоянная.

Вычисления:

Ответ: .

Пример 16.

Газ находится в закрытом баллоне под давлением 1 МПа при температуре 27°С. До какой температуры его можно нагреть, если баллон выдерживает давление не больше 3 МПа?

Решение

Процесс изохорный, поэтому уравнение Клапейрона имеет следующий вид: .