Сущность метода геометрических мест, используемого при решении задач, состоит в следующем. Пусть, решая задачу, нам надо найти точку X, удовлетворяющую двум условиям. Геометрическое место точек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фигура F1, а геометрическое место точек, удовлетворяющих второму условию, есть некоторая фигура F2. Искомая точка X принадлежит F1 и F2 т. е. является их точкой пересечения. Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из прямых и окружностей), то мы можем их построить и найти интересующую нас точку X.
Ломаной А1А2А3…An называется фигура, которая состоит из точек А1, А2, …, An и соединяющих их отрезков А1A2, A2A3, …, An-1, An. ТочкиА1, А2, …, Аn называются вершинами ломаной, а отрезки A1A2, A2A3, …, An-1, An – звеньями ломаной. Ломаная называется простой, если она не имеет самопересечений (рис. 1).
Рис. 1
А1A2A3A4 – простая ломаная из трёх звеньев.
Ломаная называется замкнутой, если у неё концы совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником, если её соседние звенья не лежат на одной прямой. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а звенья ломаной – сторонами многоугольника. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями. Многоугольник с n-вершинами, а значит, и с n-сторонами называется n-угольником.
Плоским многоугольником и многоугольной областью называется конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 2). Многоугольник называется невыпуклым, если он оказывается лежащим по обе стороны прямой, содержащей любую его сторону (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Выпуклый многоугольник называют правильным, если у него все стороны равны, и все углы равны.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности.
Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.
Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.
Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.
Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через…» и так далее.
Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.
Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом): аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.
Аксиоматическая теория строится следующим образом:
1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);
2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);
3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;
4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.
Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:
1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.
4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.