Последовательное соединение R L C.

Последовательное соединение активного
сопротивления, индуктивности и емкости.

В схеме, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления, индуктивности и емкости (рис. 2.23), заданы приложенное напряжение U, частота f и числовые значения параметров R, L и С. Требуется найти ток и напряжения на элементах

При анализе электрических цепей синусоидального тока типична ситуация, когда метод решения незнакомой задачи неизвестен. Во многих случаях помогает следующий подход. По установленным ранее правилам строится векторная диаграмма, из анализа которой выводятся необходимые расчетные формулы. Так же поступим сейчас и мы. В последовательной цепи общим для всех элементов является протекающий по ним ток, поэтому именно с него начинаем построение векторной диаграммы. Проводим его изображение горизонтально (рис. 2.24).

Рис. 2.23. Последовательная цепь переменного тока

Вообще, направление первого вектора при построении диаграмм произвольно. Оно диктуется соображениями удобства. Дальше мы должны показать векторы напряжений на всех элементах и в соответствии со вторым законом Кирхгофа в векторной форме получить вектор входного напряжения. Сложение векторов можно выполнять по правилу параллелограмма, однако удобнее применять правило многоугольника, когда каждый последующий вектор пристраивается к концу предыдущего.

Рис. 2.24. Векторная диаграмма последовательной цепи
Нам известно, что напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, поэтому вектор UR мы направляем по вектору I. К его концу пристраиваем вектор UL и направляем его вверх, так как напряжение на индуктивности опережает ток на 90°. Напряжение UС находится в противофазе с UL, т.е. отстает от тока на тот же угол 90°, поэтому вектор UС, пристроенный к концу вектора UL, направлен вниз. Векторная сумма UR, UL и UС дает вектор приложеного напряжения U.
Величины напряжений на отдельных элементах цепи нам известны:
, , . (2.23)
Из треугольника (рис. 2.24) по теореме Пифагора находим
.
Вынося из под знака радикала, записываем последнее выражение в виде:
, (2.24)
где z– полное сопротивление цепи, равное
. (2.25)
В последней формуле разность индуктивного и емкостного сопротивлений мы обозначили буквой х. Это общее реактивное сопротивление цепи: х= хL – xC. Сами индуктивность и емкость называются реактивными элементами, и их сопротивления хL и xC тоже носят названия реактивных.
Выражение (2.24) называется законом Ома для всей цепи. Оно может быть записано и так:
, (2.26)
где – полная проводимость цепи, представляющая величину, обратную полному сопротивлению: .
Если необходимо определить угол сдвига фаз между напряжением и током, то это можно сделать из треугольника напряжений (рис. 2.24):
.
Векторная диаграмма на рис. 2.24 построена для случая, когда , что имеет место при , когда в цепи преобладает индуктивность, и цепь носит активно-индуктивный характер. Общий ток отстает по фазе от входного напряжения.
Возможны также режимы, когда и .
Пример 2.7.Параметры цепи на рис. 2.23, имеют следующие числовые значения: R = 60 Ом, xL = 40 Ом, xC = 120 Ом, U = 200 В.
Определить ток, напряжения на элементах и угол сдвига фаз между напряжением и током. Построить векторную диаграмму.
Р е ш е н и е. Определяем полное сопротивление цепи
Ом.
Действующее значение тока А.
Напряжения на элементах:
B, В, В.
Угол сдвига фаз

Векторная диаграмма показана на рис. 2.25. Так как

, цепь носит активно-емкостный характер, ток опережает напряжение, угол сдвига фаз ф отрицателен и на диаграмме направлен от тока к напряжению в отрицательном направлении – по часовой стрелке.Типичным для цепей переменного тока является рассмотренный в задаче режим, когда напряжение на одном из реактивных элементов (в данном случае на емкости) превышает входное напряжение. При определенных соотношениях параметров цепи это превышение может быть довольно значительным – в десятки и сотни раз.

Рис. 2.25. Векторная диаграмма последовательной цепи

Обратим внимание также на то, что сумма падений напряжений на элементах в вольтах (120 + 80 + 240) не равна 200 – напряжению, приложенному к цепи. Еще раз повторяем, что для численных значений токов и напряжений законы Кирхгофа неприменимы. Они справедливы только для мгновенных значений, векторов и комплексных чисел. Показания приборов в цепях переменного тока складывать нельзя.
Пример 2.8.Определить величины сопротивления R и емкости С, если при частоте f = 50 Гц приборы в схеме на рис. 2.26, а имеют следующие показания: U = 125 В, UR = 100 В, I = 2,5 А.
Р е ш е н и е. По показаниям вольтметра и амперметра определяем величину активного сопротивления
Ом.
Для определения емкости конденсатора необходимо знать напряжение на его зажимах. Его можно найти из векторной диаграммы (рис. 2.26, б). При ее построении вектор направляем по вектору тока – они совпадают по фазе, а вектор – под углом 90° к току в сторону отставания. Вектор входного напряжения находим как сумму векторов и : .
Из векторной диаграммы определяем напряжение на конденсаторе
В.
Теперь находим емкостное сопротивление:
Ом.
Из формулы определяем емкость
мкФ.

Рис. 2.26. Электрическая цепь и ее векторная диаграмма
Пример 2.9.К зажимам катушки с параметрами R = 30 Ом и L = 40 мГн приложено напряжение В. Записать выражение мгновенного значения тока. Каким оно станет, если частота питающего напряжения уменьшится вдвое?
Р е ш е н и е. Вычисляем индуктивное и полное сопротивления:
Ом, Ом.
По закону Ома находим амплитуду тока
А.
Определяем угол сдвига фаз
.
При отстающем токе (при активно-индуктивном характере цепи) этот угол положителен. Из (2.4) находим начальную фазу тока:
.
Итак А.
При уменьшении частоты, т.е. при с-1:
Ом, Ом,
А, ,
, А.
В схемах на рис. 2.27 предлагается определить показание вольтметра V на входе цепи, если во всех случаях показания вольтметров на отдельных элементах составляют V1 = 40 В, V2 = 30 В. Ответы на поставленный вопрос приводятся под каждой схемой.

Рис. 2.27. Измерение напряжения в электрической цепи
Предлагаем учащемуся для каждого случая построить векторную диаграмму и проверить правильность приведенных ответов.
Вернемся к векторной диаграмме, представленной на рис. 2.24. Изобразим отдельно треугольник oab, являющийся ее частью (рис. 2.28, а). Этот треугольник называется треугольником напряжений.

Рис. 2.28. Треугольники напряжений (а) и сопротивлений (б)
Проекция вектора напряжения на вектор тока называется активной составляющей напряжения. Она обозначается Uа и равна падению напряжения на активном сопротивлении . Реактивная составляющая напряжения Uр – это проекция вектора напряжения на направление, перпендикулярное вектору тока. Она равна падению напряжения на суммарном реактивном сопротивлении цепи . Как видно из рис. 2.28, если все стороны треугольника напряжений разделить на ток, то получится подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 2.28, б). Ему соответствуют следующие формулы:
, , , . (2.27)
Решим задачу, поставленную в начале подразд. 2.12, символическим методом.
Запишем для цепи, изображенной на рис. 2.23, второй закон Кирхгофа в символической форме:
.
Подставляя в него напряжения на элементах, записанные ранее в комплексных числах , и , получим:
или , (2.28)
где – комплексное сопротивление цепи, равное
.
Выражение (2.28) представляет собой закон Ома в символической форме.
Пример 2.10. Определить показание амперметра в цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивлений – активного R = 60 Ом и индуктивного xL = 80 Ом, если напряжение на входе цепи U = 220 В.
Р е ш е н и е. Комплексное сопротивление цепи равно
Ом.
Для применения формулы (2.28) входное напряжениенеобходимо записать в символической форме, в виде комплексного числа . Так как нам задано только его численное значение, начальную фазу (аргумент комплексного числа ) мы выбираем по своему усмотрению.
Примем , тогда В.
Комплекс действующего значения тока
A.
Показание амперметра равно модулю комплексного числа A.
Пример 2.11. В цепи, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления R и катушки с параметрами RK = 34 Ом и хК = LK = 48 Ом (рис. 2.29, а), известны UR = 100 B и UK = 120 В. Требуется найти напряжение на входе цепи U.

а)

б)

Рис. 2.29. Электрическая цепь и её векторная диаграмма
Р е ш е н и е начинаем с построения векторной диаграммы (рис. 2.29, б). Вектор напряжения U равен векторной сумме напряжений и : . Напряжение на катушке представляем как сумму напряжений на ее активном и реактивном сопротивлениях . Векторы и направляем по току, а проводим перпендикулярно вверх.
Величину входного напряжения, равную длине вектора U, можно найти одним из трех способов:
а) графически, построив векторную диаграмму в масштабе, для чего предварительно нужно рассчитать следующие величины:
– полное сопротивление катушки
Ом;
– ток в цепи
А;
– составляющие напряжения на катушке

.
Измерив длину вектора U и умножив ее на масштаб, получим нужное нам значение;
б) решением треугольников, применяя известную из тригонометрии теорему косинусов: .
Угол а определяем из векторной диаграммы: , где
, .
Вычисляем напряжение:
В;