Глава 2 (практическая часть)

 

1. Рассмотрим последовательность квадратов натуральных чисел:

 

u₁ = 1², u₂ = 2², u₃ = 3²,..., u_n = n²,... (*)

Здесь u_{n + 1} = (n + 1)² = n² + 2n + 1 и, следовательно,

u_{n + 1} = u_n + 2n + 1. (1)

 

Увеличивая n на единицу, получим:

 

u_{n + 2} = (n + 2)² = n² + 4n + 4 = (n² + 2n + 1) + 2n + 3 = u_{n + 1} + 2n + 3.

u_{n + 2} = u_{n + 1} + 2n + 3. (2)

 

Вычитая почленно (1) из (2), получим:

 

u_{n + 2} - u_{n + 1} = (u_{n + 1} + 2n + 3) – (u_{n + 1} = u_n + 2n + 1) = u_{n + 1} - u_n + 2,

u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_n + 2. (3)

 

Увеличивая в равенстве (3) n на единицу, будем иметь:

 

u_{n + 3} = (n + 3)² = n² + 6n + 9 = (n² + 4n + 4) + 2n + 5 = u_{n + 2} + 2n + 5,

u_{n + 3} = u_{n + 2} + 2n + 5. (4)

 

Вычитая почленно (2) из (4), получим:

 

u_{n + 3} - u_{n + 2} = (u_{n + 2} + 2n + 5) – (u_{n + 1} + 2n + 3) = u_{n + 2} - u_{n + 1} + 2,

u_{n + 3} = 2u_{n + 2} - u_{n + 1} + 2, (5)

 

Вычитая почленно (3) из (5), получим:

 

u_{n + 3} - u_{n + 2} = (2u_{n + 2} - u_{n + 1} + 2) – (2u_{n + 1} - u_n + 2) = 2u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + u_n ,

или u_{n + 3} = 3u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + u_n.. (6)

 

Получили возвратное уравнение третьего порядка, т. е. k = 3, a₁ = 3, a₂ = -3, a₃ = 1.

Следовательно, последовательность (*) есть возвратная последовательность третьего порядка.

2. Рассмотрим последовательность кубов натуральных чисел:

 

u₁ = 1³, u₂ = 2³, u₃ = 3³,..., u_n = n³,... (**)

Здесь u_{n + 1} = (n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1 и, следовательно,

u_{n + 1} = u_n + 3n² + 3n + 1. (7)

 

Увеличивая n на единицу, получим:

 

u_{n + 2} = (n + 2)³ = n³ + 6n² + 12n + 8 = (n³ + 3n² + 3n + 1) + 3n² + 9n + 7 = = u_{n + 1} + 3n² + 9n + 7,

u_{n + 2} = u_{n + 1} + 3n² + 9n + 7. (8)

 

Вычитая почленно (7) из (8), получим:

 

u_{n + 2} - u_{n + 1} = (u_{n + 1} + 3n² + 9n + 7) – (u_n + 3n² + 3n + 1) = u_{n + 1} - u_n + 6n + 6,

u_{n + 2} = 2u_{n + 1} - u_n + 6n + 6. (9)

 

Увеличивая в равенстве (9) n на единицу, будем иметь:

 

u_{n + 3} = (n + 3)³ = n³ + 9n² + 27n + 27 = (n³ + 6n² + 12n + 8) + 3n² + 15n + 19= u_{n + 2} + 3n² + 15n + 19,

u_{n + 3} = u_{n + 2} + 3n² + 15n + 19. (10)

 

Вычитая почленно (8) из (10), получим:

 

u_{n + 3} - u_{n + 2} = (u_{n + 2} + 3n² + 15n + 19) – (u_{n + 1} + 3n² + 9n + 7) = u_{n + 2} - u_{n + 1} + 6n + 12,

u_{n + 3} = 2u_{n + 2} - u_{n + 1} + 6n + 12. (11)

 

Вычитая почленно (9) из (11), получим:

 

u_{n + 3} - u_{n + 2} = (2u_{n + 2} - u_{n + 1} + 6n + 12) – (2u_{n + 1} - u_n + 6n + 6) = 2u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + u_n + 6,

или u_{n + 3} = 3u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + u_n + 6_. (12)

 

Увеличивая в равенстве (12) n на единицу, будем иметь:

 

u_{n + 4} = (n + 4)³ = n³ + 12n² + 48n + 64 = (n³ + 9n² + 27n + 27) + 3n² + 21n + + 37 = u_{n + 3} + 3n² + 21n + 37,

u_{n + 4} = u_{n + 3} + 3n² + 21n + 37. (13)

 

Вычитая почленно (10) из (13), получим:

 

u_{n + 4} - u_{n + 3} = (u_{n + 3} + 3n² + 21n + 37) – (u_{n + 2} + 3n² + 15n + 19) = = u_{n + 3} - u_{n + 2} + 6n + 18,

u_{n + 4} = 2u_{n + 3} - u_{n + 2} + 6n + 18. (14)

 

Вычитая почленно (11) из (14), получим:

 

u_{n + 4} - u_{n + 3} = (2u_{n + 3} - u_{n + 2} + 6n + 18) – (2u_{n + 2} - u_{n + 1} + 6n + 12) = = 2u_{n + 3} - 3u_{n + 2} + u_{n + 1} + 6,

или u_{n + 4} = 3u_{n + 3} - 3u_{n + 2} + u_{n + 1} + 6_. (15)

 

Вычитая почленно (12) из (15), получим:

 

u_{n + 4} - u_{n + 3} = (3u_{n + 3} - 3u_{n + 2} + u_{n + 1} + 6) – (3u_{n + 2} - 3u_{n + 1} + u_n + 6) = 3u_{n + 3} - 6u_{n + 2} + 4u_{n + 1} - u_n ,

или u_{n + 4} = 4u_{n + 3} - 6u_{n + 2} + 4u_{n + 1} - u_n. (15)

 

Получили возвратное уравнение четвёртого порядка, т. е. k = 4, a₁ = 4, a₂ = -6, a₃ = 4, a₄ = - 1.

Следовательно, последовательность (**) есть возвратная последовательность четвёртого порядка.

3. Проверим, что условие теоремы:

Для того чтобы система k линейных алгебраических уравнений

 

Аx₁ + Вy₁ +... + Cz₁ = u₁

Аx₂ + Вy₂ +... + Cz₂ = u₂

..................... (16)

Аx_k + Вy_k +... + Cz_k = u_k

 

с k неизвестными имела решение A, B,..., C и притом единственное, при любых значениях правых частей u₁, u₂, u₃,..., u_k, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая ей однородная система

 

Аx₁ + Вy₁ +... + Cz₁ = 0

Аx₂ + Вy₂ +... + Cz₂ = 0

..................... (17)

Аx_k + Вy_k +... + Cz_k = 0

 

имела бы одно только нулевое решение: A = B =... = C = 0 – выполняется в частных случаях

 

x₁ = 0, y₁ = 0,..., z₁ = 0

x₂ = 0, y₂ = 0,..., z₂ = 0 (18)

x_k = 0, y_k = 0,..., z_k = 1

x₁ = 1, y₁ = 1,..., z₁ = 1

x₂ = 0, y₂ = 1,..., z₂ = 1 (19)

x_k = 0, y_k = 0,..., z_k = 1

1) x₁ = 0, y₁ = 0,..., z₁ = 0

x₂ = 0, y₂ = 0,..., z₂ = 0

x_k = 0, y_k = 0,..., z_k = 1

 

Тогда однородная для (16) система (17) примет вид

А•1 = 0

В•1 = 0

......

C•1 = 0

А = 0

В = 0

......

C = 0

Т. е. A = B =... = C = 0.

 

Получили, что k линейных алгебраических уравнений (16) с k неизвестными имеет единственное решение

 

A = B =... = C = 0.

2) x₁ = 1, y₁ = 1,..., z₁ = 1

x₂ = 0, y₂ = 1,..., z₂ = 1

x_k = 0, y_k = 0,..., z_k = 1

 

Тогда однородная для (16) система (17) примет вид

 

А•1 + В•1 +... + C•1 = 0

В•1+... + C•1 = 0

.....................

C•1 = 0

 

Решая эту систему с конца, получим A = B =... = C = 0. Получили, что k линейных алгебраических уравнений (16) с k неизвестными имеет единственное решение A = B =... = C = 0.

Заключение

 

В данной работе поставленные цели достигнуты.

В работе изучены основные теоретические сведения о возвратных последовательностях, приведены примеры таких последовательностей, также доказаны некоторые теоремы. Нужно заметить, что часть теоретического материала рассматривается именно через примеры, с помощью которых выводятся основные формулы теории возвратных последовательностей. Также затронута тема «возвратные задачи», в работе подробно разобраны некоторые из них. Третья глава посвящена изучению и применению возвратных последовательностей в школьном курсе математики, что можно включить в учебную программу факультатива по математике в средней школе.

В практической части применены полученные знания теории возвратных последовательностей. А именно: доказано по определению, что последовательности являются возвратными и проверено условие выполнения теоремы в частных случаях.

Тема «Возвратные последовательности» не является изолированной, Она близка к школьному курсу математики (арифметическая и геометрическая прогрессии, последовательности квадратов и кубов натуральных чисел и т.д.), используется в высшей алгебре, геометрии, математическом анализе и других математических дисциплинах. Теория возвратных последовательностей составляет особую главу математической дисциплины, называемой исчислением конечных разностей; представляет собой частную главу о последовательностях.

Таким образом, в данной курсовой работе изучена очень важная и актуальная на сегодняшний день тема.

Список литературы

 

1. Грехем, Р. Конкретная математика. Основание информатики. / Р. Грехем, Д. Кнут, О. Паташник. Пер. с англ. – М.:Мир, 1998. – С. 17−37.

2. Маркушевич А. И. Возвратные последовательности. Популярные лекции по математике. - М.: Наука, 1950.

3. Мантуров О. В. Математика в понятиях, определениях и терминах. Ч.2 / О. В. Мантуров, Ю. К. Солнцев, Ю. И. Соркин, Н. Г. Федин; Под. ред. Л. В. Сабинина. – М.: Просвещение, 1982. – С. 207–208.