Наиболее часто встречающиеся типы задач оптимизации – это
1) Производственная задача
2) Внешнеторговая задача
3) Транспортная задача
4) Задача о рациональных смесях (диете)
5) Задача распределения по должностям
Рассмотрим примеры некоторых типов задач оптимизации.
Производственная задача.
Условие задачи:
Мебельная фабрика специализируется на производстве столов, столов, стульев и табуреток. Затраты на производство одного стола составляют 0,08 м3 древесина, и на это потребуется 8 человеко-часов, причём доход от его продажи составит 1500 рублей. Затраты на производство одного стула – 0,02 м3 древесины, на это потребуется 7 человеко-часов, доход от его производства составляет 1200 рублей. Затраты на производство одной табуретки составляет 0,01 м3 древесины, 3 человеко-часа и доход от его продажи составит 500 рублей. Ресурсы ограничены и составляют 10 м3 древесины и 880 человеко-часов. Задача – произвести продукцию в таком объёме, чтобы прибыль оказалась максимальной.
Пусть x – количество столов,
y – количество стульев,
z – количество табуреток.
Допущения в модели оптимизации:
- цены не зависят от объёма производства;
- норма затрат не зависит от объёмов производства.
| Доход (руб) | Расход древесины (м3) | Трудозатраты (чел/час) | |
| Столы | 0,08 | ||
| Стулья | 0,02 | ||
| Табуретки | 0,01 |
Целевая функция:
1500x+1200y+500z → max
Решим систему:
1500x+1200y+500z → max
0,08x+0,02y+0,01z ≤ 10
8x+7y+3z ≤ 880
x, y, z ≥ 0
x, y, z – целые числа
Ответ: x=12, y=0, z=1
Итак, чтобы прибыль мебельной фабрики оказалась максимальной необходимо производить продукцию в следующих объёмах. Надо производить 12 столов и 1 табуретку, а также необходимо отказаться от производства стульев.
Внешнеторговая задача
В моделях оптимизации внешней торговли ограничительные условия отражают специфику отрасли и делятся, как правило, на две группы: условия внешнеторговой деятельности, связанные с внутренними возможностями страны или фирмы, и условия, определяемые внешними рынками. К первой группе можно отнести имеющиеся материальные финансовые средства, выделенные экспортные фонды, мощности по производству экспортных товаров, потребности в импорте. Вторая группа ограничительных факторов учитывает экономико-политические цели и включает ограничения, связанные с международными соглашениями, валютные ограничения, возможности сбыта и закупок товаров на внешних рынках и т.п. В качестве критерия оптимальности решения в задачах оптимизации внешней торговли может быть выбрана, например, цель – максимизация валютной выручки от экспорта или минимизация затрат на производство экспортных товаров и т.п.
Условие задачи.
Страна поставляет товары А, В и С на рынки I, II, III. Причём ёмкость рынка I по товару А составляет 30 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $130. Ёмкость рынка II по товару А составляет 27 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $390 за единицу продукции. На рынке III – неограниченный спрос на товар А, причём его покупают по цене $80 за единицу продукции. Ёмкость рынка I по товару В составляет 22 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $390 за единицу продукции. Ёмкость рынка II по товару В составляет 8 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $250 за единицу продукции. На рынке III продукция В спросом не пользуется. Ёмкость рынка I по товару С составляет 35 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $170 за единицу продукции. Ёмкость рынка II по товару С составляет 30 тыс. единиц продукции, которая покупается по цене $190 за единицу продукции. На рынке III – неограниченный спрос на товар С, который покупается по цене $120 за единицу продукции. Кроме того, страна импортирует товары D, E и F с рынков I, II и III. Максимальное предложение на рынке I по товару D составляет 820 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $7,3 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке II по товару D составляет 600 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $10,5 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке III по товару D составляет 930 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $5,8. Товар Е на рынке I не продаётся. Максимальное предложение на рынке II по товару E составляет 370 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $12,2 за единицу продукции. Максимальное предложение на рынке III по товару E составляет 120 тыс. единиц продукции, которая продаётся по цене $8,1 за единицу продукции. Товар F на рынке имеет неограниченное предложение, и продаётся по цене $6,1 за единицу продукции. Товар F на рынке II имеет неограниченное предложение, и продаётся по цене $9,3 за единицу продукции. Товар F на рынке III не продаётся. При этом существует договор, по которому страна не имеет права экспортировать товар А более 42 тыс. единиц, товар В – 80 тыс. единиц, товар С – 70 тыс. единиц. Кроме этого, существует ограничение на импорт: количество товара D по всем рынкам не должно превышать 1800 тыс. единиц товара, товар Е должен быть закуплен в количестве не более 250 единиц, а по товару F ограничений нет. Помимо этого, объём продаж на рынке I должен быть не меньше 50 тыс. единиц, объём закупок на рынке II должен быть не больше 1000 тыс. единиц, а на рынке III объём продаж товарами должен равняться объёму закупок. Задача – максимизировать валютную выручку от экспорта.
| Товар А | Товар В | Товар С | Товар D | Товар Е | Товар F | |
| Экспорт | Импорт | |||||
| Цена ($) Ёмкость рынка (тыс ед.) | ||||||
| Рынок I | 7,3 | 6,1 ∞ | ||||
| Рынок II | 10,5 | 12,2 | 9,3 ∞ | |||
| Рынок III | ∞ | ∞ | 5,8 | 8,1 |
Обозначим через хik объем продажи k -ого товара на i - ом рынке.
Пусть x11 – объём продажи товара А на рынке I,
x21 – объём продажи товара А на рынке II
x31 – объём продажи товара А на рынке III
x12 – объём продажи товара B на рынке I
x22 – объём продажи товара B на рынке II
x32 – объём продажи товара B на рынке III
x13 – объём продажи товара C на рынке I
x23 – объём продажи товара C на рынке II
x33 – объём продажи товара C на рынке III
x14 – объём продажи товара D на рынке I
x24 – объём продажи товара D на рынке II
x34 – объём продажи товара D на рынке III
x15 – объём продажи товара E на рынке I
x25 – объём продажи товара E на рынке II
x35 – объём продажи товара E на рынке III
x16 – объём продажи товара F на рынке I
x26 – объём продажи товара F на рынке II
x36 – объём продажи товара F на рынке III
Целевая функция:
130x11+160x21+80x31+390x12+250x22+170x13+190x23+120x33 – 7,3x14 – 10,5x24 –5,8x34 – 12,2 x15 – 8,1 x35 – 6,1x16 – 9,3x26 → max
Ограничения по объему экспортного рынка:
x11 ≤ 30
x21 ≤ 27
x12 ≤ 22
x22 ≤ 8
x13 ≤ 35
x23 ≤ 30
Ограничения по объему импортного рынка:
x14 ≤ 820
x24 ≤ 600
x34 ≤ 930
x25 ≤ 370
x35 ≤ 120
Ограничения по объему экспорта:
x11+x21+x31 ≤ 42
x12+x22+x32 ≤ 80
x13+x23+x33 ≤ 70
Ограничения по объему импорта:
x14+x24+x34 ≤ 1800
x15+x25+x35 ≤ 250
Ограничения по рынкам:
x11+x12+x13 ≥ 750
x24+x25+x26 ≤ 1000
80x31+120x33– 5,8x34 – 8,1x35 =0
Решим систему уровнений:
130x11+160x21+80x31+390x12+250x22+170x13+190x23+120x33 – 7,3x14 – 10,5x24 –5,8x34 – 12,2 x15 – 8,1 x35 – 6,1x16 – 9,3x26 → max
x11 ≤ 30
x21 ≤ 27
x12 ≤ 22
x22 ≤ 8
x13 ≤ 35
x23 ≤ 30
x14 ≤ 820
x24 ≤ 600
x34 ≤ 930
x25 ≤ 370
x35 ≤ 120
x11+x21+x31 ≤ 42
x12+x22+x32 ≤ 80
x13+x23+x33 ≤ 70
x14+x24+x34 ≤ 1800
x15+x25+x35 ≤ 250
x11+x12+x13 ≥ 750
x24+x25+x26 ≤ 1000
80x31+120x33– 5,8x34 – 8,1x35 =0
Подготовим задачу к решению на компьютере.
Матрица условий задачи
Ответ:
x11=15, x21=27, x31=0, x12=22, x22=8, x32=0 (по условию задачи), x13=35, x23=30, x33=1,94452, x14=0, x24=0, x34=37,997, x15=0 (по условию задачи), x25=0, x35=1,6, x16=0, x26=0, x36=0 (по условию задачи)
Итак, чтобы максимизировать валютную выручку от экспорта необходимо, чтобы товары экспортировались и импортировались в следующих объёмах. Объём продажи товара А на рынке I должен составлять 15 тыс. единиц продукции; объём продажи товара А на рынке II - 27 тыс. единиц продукции; в то же время, на рынок III поставка товара А не должна осуществляться. Товар В на рынок I должен поставляться в количестве 22 тыс. единиц продукции; на рынок II товар В надо поставлять в количестве 8 тыс. единиц продукции; на рынок III товар В поставляться не будет по условию задачи. Объём продажи товара C на рынке I должен составлять 35 тыс. единиц продукции; объём продажи товара C на рынке II - 30 тыс. единиц продукции; объём продажи товара C на рынке III – 1,94452 тыс. единиц продукции. Товар D не должен импортироваться на I и II рынки, а на рынок III товар D должен импортироваться в объёме 37,997 тыс. Товар Е на рынок I не будет импортироваться по условию задачи; на рынок II товар Е тоже не должен импортироваться; на рынок III товар Е надо импортировать в объёме 1,6 тыс. единиц продукции. Товар F на рынок III не импортируется по условию задачи. На рынки I и II товар F также импортировать не следует.
Заключение
На всех стадиях жизненного цикла предприятия, организации, фирмы приходится принимать множество решений. Любой предприниматель в ходе своей деятельности стоит перед проблемами выборами источников финансирования, задачи подбора помещения, найма работников, выбора стратегии предприятия, партнёров, источников сырья, проблемами сбыта продукции. Все решения этих сложных проблем приходится принимать в условиях недостатка информации и времени. Экономико-математические методы моделирования задач принятия решения помогут найти оптимальные решения. С помощью компьютерной техники, имея определённую модель, которая отражает основные свойства объекта и ситуации, можно рассмотреть различные варианты решений и определить оптимальное решение.
Список литературы:
1. Н.В. Сернова, В.М. Гордуновский, Е.С. Котова Количественные методы принятия решений в бизнесе. М.: Издательский центр «Анкил», 1997.
2. Н.В. Сернова, В.М. Гордуновский, С.Ю. Самохвалов «Балансовые и оптимизационные модели принятия решений». М.: 2003