Лекция 7.1
Связь между гладкостью функции и порядком малости коэффициентов Фурье.
Теорема. Пусть функция 
определена на отрезке 
, разлагается на нем в тригонометрический ряд Фурье и непрерывна на нем вместе со своими производными до p –1 порядка включительно. Пусть 
Если p –ая производная функции 
кусочно непрерывна на интервале 
, то коэффициенты Фурье 
- бесконечно малые функции по отношению к 
.
Доказательство. 
.
Здесь 
- коэффициенты Фурье для функции 
.
Продолжая аналогично интегрирование по частям, получим
. Из этих соотношений следует
Из этого соотношения или непосредственно можно получить аналогичное соотношение для 
.
Поэтому 
, где 
или 
- n –ый коэффициент Фурье.
По следствию из равенства Парсеваля 
для коэффициентов Фурье самой функции и ее производных.. Следовательно, 
0 
. Теорема доказана.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию 
и построить график суммы ряда 
.
Продолжим заданную функцию периодически на всю ось. Тогда функция будет иметь разрывы первого рода в точках 
. В этих точках функция будет принимать значение 
, равное, по теореме Дирихле, полу сумме левого и правого пределов функции . В остальных точках значения функций и будут совпадать.
Вычислим коэффициенты Фурье.
,
.
. Проверьте, выполнив интегрирование по частям.
Из таких разложений часто можно получать суммы числовых рядов.
Например, подставим в разложение 
, получим
.
Подставим в разложение 
, получим
.
Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке 
.
Выше были получены формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке 
(или периодических функций с периодом 
).
Выведем формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке .
Если функция 
задана на отрезке (или периодическая с периодом 
), то функция 
имеет период 
(первое свойство периодических функций). Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье для функции с периодом .
= 
.
, 
, 
.
Сделаем в этих формулах замену переменных 
, 
, 
.
= 
(в точках непрерывности функции).
В точках разрыва функции 
. Возвращаясь к переменной x, заменяя формально t на x, получим формулы коэффициентов ряда Фурье при разложении в ряд функции, заданной на отрезке .
, 
, 
.
= 
(в точках непрерывности функции).
В точках разрыва функции 
.
Пример. Разложить в ряд Фурье функцию 
, не вычисляя коэффициенты ряда Фурье.
Функция непрерывна, по теореме Дирихле
,
,
,
,
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Свойства четных и нечетных функций.
1) произведение четных функций – четная функция. Произведение нечетных функций – четная функция, произведение четной функции на нечетную – нечетная функция.
Обозначим 
- нечетную и четную функции. 
,
Получим, 
,
.
2) 
.
Рассмотрим формулы разложения функции , заданной на отрезке в ряд Фурье
, 
, 
.
= 
(в точках непрерывности функции).
В точках разрыва функции .
Если функция четна, то по четности косинуса, нечетности синуса и свойству 1 под интегральные функции в 
. Следовательно,
, 
, 
.
= 
(в точках непрерывности функции). Четная функция разлагается по четным функциям.
Если функция нечетна, то по четности косинуса, нечетности синуса и свойству 1 под интегральные функции в 
. Следовательно,
, 
,. 
.
= 
(в точках непрерывности функции). Нечетная функция разлагается по нечетным функциям.
Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке 
по синусам и косинусам кратных дуг.
Так как функция заданана отрезке 
, то ее можно доопределить на отрезок 
четным или нечетным образом.
Если функция доопределена четным образом, то она, как четная функция может быть разложена по формулам для четной функции
, , .
= (в точках непрерывности функции).
Это – разложение в ряд Фурье по косинусам кратных дуг.
Если функция доопределена нечетным образом, то она, как нечетная функция может быть разложена по формулам для нечетной функции
, ,. .
= (в точках непрерывности функции).
Это – разложение в ряд Фурье по синусам кратных дуг.
Одну и ту же функцию, заданную на отрезке 
, можно разложить и по синусам, и по косинусам кратных дуг.
Пример. Разложить по косинусам и синусам кратных дуг функцию , заданную на отрезке 
.
Так как мы доопределяем функцию на отрезок 
при разложении по косинусам и синусам кратных дуг, то 
.
Разложим функцию по косинусам кратных дуг.
, 
, .
= 
=1. 
Разложим функцию по синусам кратных дуг.
, ,. 
.
= 
= 
,
(теорема Дирихле).