Задания на производную функции, её применения к решению практических задач в едином государственном экзамене представлены в каждом разделе. Наиболее сложные задания, как правило, присутствуют в группе С. Это задачи на исследование комбинированных функций на монотонность и экстремумы, задачи на нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, задачи по геометрии или практические задачи, решаемые с помощью производной. Выделим основные правила, теоремы, приемы, которые используются при решении этих задач.
1) Порядок исследование функции у = f(x) на монотонность и экстремумы:
- найти область определения функции;
- найти производную функции;
- найти критические точки функции: это внутренние точки области определения,
в которых производная равна нулю или не существует;
- разбить область определения на промежутки и определить знак производной
функции на каждом из промежутков;
- применить достаточные условия монотонности и экстремумов функции.
2) Достаточные условия монотонности и экстремумов функции.
Т.1 Если производная функции f(x) имеет на промежутке (а;b) положительна, то
функция на этом промежутке возрастает; если же производная f '(x) на проме-
жутке отрицательна, то функция на этом промежутке убывает.
Т.2 Если функция f(x) в точке х 
непрерывна, и при переходе через эту точку произ-
водная f '(x) меняет знак с «+» на «-», то х 
- точка максимума;
если же производная меняет знак с «-» на «+», то х - точка минимума.
Значение функции в точке максимума или минимума называется соответственно
максимумом, минимумом функции.
3) Порядок нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежут-
ках ([ a;b], (a;b), (- ∞;+∞)).
а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b],
необходимо:
- найти производную функции;
- найти критические точки функции;
- найти значение функции на концах отрезка и в критических точках, лежащих
внутри отрезка;
- из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
b) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке
(a;b) нужно:
- рассмотреть задачу на отрезке [a;b] (см. а));
- если наибольшее (наименьшее) значение достигается во внутренней точке от-
резка [а;b], то на открытом промежутке (а;b) оно достигается в этой же точке;
если наибольшее(наименьшее) значение достигается на концах отрезка [a;b], то
на открытом промежутке (a;b) оно не достигается.
Эту же задачу можно решить, исследовав функцию на промежутке (а; b) на экст-
ремумы, взяв наибольший максимум в качестве наибольшего значения функции,
а наименьший минимум- в качестве наименьшего значения функции на (а;b).
c) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на бесконечных
промежутках (-∞;+∞), (-∞;b), (а;+∞) нужно:
- исследовать функцию на экстремумы на данном промежутке;
- найти предел функции при 
;
- из полученных экстремумов функции выбрать наибольший максимум и наимень-
ший минимум и сравнить их с найденными пределами функции на бесконечнос-
ти.